📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(300^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
2. $x=\pm45^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=\pm45^\circ+360^\circ k$.
3. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(240^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
4. $\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$ — אפשר לגזור את נוסחת ההפרש לקוסינוס מנוסחת הסכום: $\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha+(-\beta))=\cos\alpha\cos(-\beta)-\sin\alpha\sin(-\beta)$. מכיוון ש-$\cos$ זוגית ($\cos(-\beta)=\cos\beta$) ו-$\sin$ אי-זוגית ($\sin(-\beta)=-\sin\beta$), מקבלים $\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\cdot(-\sin\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$.
5. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ — $\frac{\pi}{6}=30^\circ$, ברביע הראשון. $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$, $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$, ולכן $\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sin(\pi/6)}{\cos(\pi/6)}=\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ (לאחר רציונליזציה של המכנה).
6. $-\sqrt{3}$ — מתקיים $\tan\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)}=-\sqrt{3}$.
7. $1$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$.
8. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
9. $3$ — המקסימום מתקבל כש-$\sin x=1$: $2\cdot1+1=3$.
10. $x=210^\circ,\ x=330^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=210^\circ,\ x=330^\circ$.
11. $x=\pm60^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=\pm60^\circ+360^\circ k$.
12. $\sin\alpha$ — $90^\circ-\alpha$ היא הזווית המשלימה ל-$\alpha$ (שתי הזוויות מסתכמות ל-$90^\circ$). לפי זהות הזוויות המשלימות, הקוסינוס של זווית שווה לסינוס של הזווית המשלימה לה: $\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha$.
13. $0$ — הערך $\cos(90^\circ)=0$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
14. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\cos(225^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
15. $\frac{\pi}{3}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $60^\circ=60\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{3}$.