15 שאלות טריגונומטריה מתקדמת לבגרות 5 יח"ל: זהויות סכום והפרש, זווית כפולה, משוואות מורכבות וחוקי סינוס/קוסינוס.

📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"א · 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

טריגונומטריה מתקדמת ב-5 יח"ל מרחיבה את הנושא הרבה מעבר לרמת 4 היחידות, ומשלבת זהויות מתוחכמות עם פתרון משוואות במעגל היחידה. דף תרגול טריגונומטריה זה כולל 15 שאלות מודרגות ברמת 5 יח"ל: זהויות הסכום וההפרש sin(α±β) ו-cos(α±β); זהויות הזווית הכפולה sin2x=2sinxcosx ו-cos2x=cos²x−sin²x; פישוט ביטויים טריגונומטריים מורכבים; פתרון משוואות טריגונומטריות הדורשות שימוש בזהויות לפני הפתרון, כולל פתרון כללי במעגל היחידה; חוק הסינוסים וחוק הקוסינוסים בבעיות משולש מורכבות; ובעיות יישומיות מתקדמות. השאלות בסגנון שאלוני 5 יח"ל ומדגישות את הצעד הקריטי — בחירת הזהות הנכונה. זמן מומלץ: כ-70 דקות.

1.מהו $sin (9 0^{\circ})$ ?
(א) $\frac{2}{2}$
(ב) $1$ ✓
(ג) $0$
(ד) $\frac{1}{2}$
2.מהו $tan (\frac{7 π}{6})$ ?
(א) $0$
(ב) $3$
(ג) $1$
(ד) $\frac{3}{3}$ ✓
3.מהו הערך המינימלי של $y = 3 cos x - 1$ ?
(א) $2$
(ב) $- 1$
(ג) $- 3$
(ד) $- 4$ ✓
4.לפי חוק הסינוסים $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B}$ . אם $a = 10, A = 3 0^{\circ}, B = 9 0^{\circ}$ , מהו $b$ ?
(א) $20$ ✓
(ב) $5$
(ג) $15$
(ד) $10$
5.מהו $sin (\frac{π}{2})$ ?
(א) $\frac{1}{2}$
(ב) $1$ ✓
(ג) $\frac{2}{2}$
(ד) $0$
6.פתרו את המשוואה $tan x = 1$ (פתרון כללי).
(א) $x = \pm 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} k$
(ב) $x = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
(ג) $x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} k$ ✓
(ד) $x = 13 5^{\circ} + 18 0^{\circ} k$
7.מהו $cos (\frac{π}{2})$ ?
(א) $\frac{2}{2}$
(ב) $\frac{1}{2}$
(ג) $0$ ✓
(ד) $\frac{3}{2}$
8.פתרו את המשוואה $tan x = - 1$ (פתרון כללי).
(א) $x = - 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} k$ ✓
(ב) $x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} k$
(ג) $x = - 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
(ד) $x = 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
9.מהו $tan (\frac{2 π}{3})$ ?
(א) $\frac{3}{3}$
(ב) $0$
(ג) $1$
(ד) $- 3$ ✓
10.מהו $sin (12 0^{\circ})$ ?
(א) $\frac{3}{2}$ ✓
(ב) $\frac{1}{2}$
(ג) $\frac{2}{2}$
(ד) $0$
11.מהו $tan (31 5^{\circ})$ ?
(א) $1$
(ב) $- 1$ ✓
(ג) $\frac{3}{3}$
(ד) $0$
12.השלימו את הזהות: $\frac{s i n α}{c o s α} = ?$
(א) $cot α$
(ב) $sin α cos α$
(ג) $1$
(ד) $tan α$ ✓
13.השלימו את הזהות: $sin (9 0^{\circ} - α) = ?$
(א) $cos α$ ✓
(ב) $tan α$
(ג) $sin α$
(ד) $- cos α$
14.מהו $cos (\frac{4 π}{3})$ ?
(א) $0$
(ב) $- \frac{1}{2}$ ✓
(ג) $\frac{1}{2}$
(ד) $\frac{2}{2}$
15.השלימו את הזהות: $sin (α + β) = ?$
(א) $sin α cos β - cos α sin β$
(ב) $sin α cos β + cos α sin β$ ✓
(ג) $cos α cos β - sin α sin β$
(ד) $cos α cos β + sin α sin β$

מפתח תשובות

$1$ — הערך $\sin(90^\circ)=1$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\tan\left(\frac{7\pi}{6}\right)=\frac{\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)}{\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
$-4$ — המינימום מתקבל כש-$\cos x=-1$: $3\cdot(-1)-1=-4$.
$20$ — $b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{10\cdot1}{\frac12}=20$.
$1$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$.
$x=45^\circ+180^\circ k$ — למשוואה $\tan x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+180^\circ k$, כי לטנגנס תקופה של $180^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=45^\circ+180^\circ k$.
$0$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$.
$x=-45^\circ+180^\circ k$ — למשוואה $\tan x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+180^\circ k$, כי לטנגנס תקופה של $180^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=-45^\circ+180^\circ k$.
$-\sqrt{3}$ — מתקיים $\tan\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)}=-\sqrt{3}$.
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(120^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$-1$ — $315^\circ$ נמצאת ברביע הרביעי ($270^\circ<315^\circ<360^\circ$), שם $\cos$ חיובי ו-$\sin$ שלילי, ולכן $\tan$ שלילי. זווית העזר: $360^\circ-315^\circ=45^\circ$. לכן $\tan(315^\circ)=-\tan(45^\circ)=-1$.
$\tan\alpha$ — זוהי הגדרת הטנגנס. לכן התשובה היא $\tan\alpha$.
$\cos\alpha$ — זהות הזוויות המשלימות. לכן התשובה היא $\cos\alpha$.
$-\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}$.
$\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ — נוסחת הסכום לסינוס. לכן התשובה היא $\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: היכל הטריגונומטריה. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"א · 5 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📐 תרגול טריגונומטריה — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'