📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $0$ — הערך $\sin(360^\circ)=0$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
2. $-\sin\alpha$ — גרף הסינוס אנטי-סימטרי סביב הראשית (סימטרי סביב נקודה, לא סביב ציר ה-$y$) — כלומר $\sin$ היא פונקציה אי-זוגית, ולפי הגדרת פונקציה אי-זוגית מתקיים $f(-\alpha)=-f(\alpha)$ לכל $\alpha$. לכן $\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$.
3. $\frac{15}{17}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע ראשון. לכן $\cos\alpha=\frac{15}{17}$.
4. $x=210^\circ,\ x=330^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=210^\circ,\ x=330^\circ$.
5. $-1$ — $315^\circ$ נמצאת ברביע הרביעי ($270^\circ<315^\circ<360^\circ$), שם $\cos$ חיובי ו-$\sin$ שלילי, ולכן $\tan$ שלילי. זווית העזר: $360^\circ-315^\circ=45^\circ$. לכן $\tan(315^\circ)=-\tan(45^\circ)=-1$.
6. $135^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$.
7. $120^\circ$ — התקופה היא $\frac{360^\circ}{3}=120^\circ$.
8. $\cos^2\alpha$ — נובע מ-$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$. לכן התשובה היא $\cos^2\alpha$.
9. $0$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$.
10. $\frac{5\pi}{3}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $300^\circ=300\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{3}$.
11. $1$ — הערך $\sin(90^\circ)=1$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
12. $-1$ — $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$ נמצא ברביע השני, וזווית הייחוס שלו היא $180^\circ-135^\circ=45^\circ$. ברביע השני הסינוס חיובי והקוסינוס שלילי: $\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\sin(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\cos(45^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. לכן $\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\sin(3\pi/4)}{\cos(3\pi/4)}=\frac{\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2}=-1$.
13. $\frac{3}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע ראשון. לכן $\sin\alpha=\frac{3}{5}$.
14. $\cos\alpha$ — $\cos$ היא פונקציה זוגית. לכן התשובה היא $\cos\alpha$.
15. $-1$ — הזווית $\frac{7\pi}{4}$ נמצאת ברביע הרביעי, עם זווית ייחוס $\frac{\pi}{4}$. לכן $\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ו-$\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, ומכאן $\tan\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\frac{\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)}{\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)}=\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=-1$.