📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $3$ — המשרעת היא הערך המוחלט של המקדם, $3$.
2. $3$ — המקסימום מתקבל כש-$\sin x=1$: $2\cdot1+1=3$.
3. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(120^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
4. $-\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}$.
5. $1$ — $\frac{5\pi}{4}=225^\circ$ (רביע שלישי). $\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. לכן $\tan\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\frac{-\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2}=1$.
6. $2\sin\alpha\cos\alpha$ — נוסחת הזווית הכפולה לסינוס. לכן התשובה היא $2\sin\alpha\cos\alpha$.
7. $x=180^\circ k$ — מכיוון ש-$\sin(0^\circ)=0$, זווית העזר $\alpha=0^\circ$. הפתרון הכללי: $x=0^\circ+360^\circ k$ או $x=180^\circ-0^\circ+360^\circ k=180^\circ+360^\circ k$. איחוד שני הענפים (המרוחקים $180^\circ$ זה מזה) נותן $x=180^\circ k$.
8. $1$ — $225^\circ=180^\circ+45^\circ$ נמצא ברביע השלישי, עם זווית ייחוס $45^\circ$. ברביע השלישי גם הסינוס וגם הקוסינוס שליליים: $\sin(225^\circ)=-\sin(45^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(225^\circ)=-\cos(45^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. לכן $\tan(225^\circ)=\frac{\sin(225^\circ)}{\cos(225^\circ)}=\frac{-\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2}=1$.
9. $\frac{15}{17}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע ראשון. לכן $\cos\alpha=\frac{15}{17}$.
10. $\sin\alpha$ — $90^\circ-\alpha$ היא הזווית המשלימה ל-$\alpha$ (שתי הזוויות מסתכמות ל-$90^\circ$). לפי זהות הזוויות המשלימות, הקוסינוס של זווית שווה לסינוס של הזווית המשלימה לה: $\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha$.
11. $-\frac{3}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע רביעי. לכן $\sin\alpha=-\frac{3}{5}$.
12. $\cos\alpha$ — זהות הזוויות המשלימות. לכן התשובה היא $\cos\alpha$.
13. $360^\circ$ — התקופה הבסיסית של סינוס היא $360^\circ$.
14. $1$ — הערך $\cos(0^\circ)=1$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
15. $x=\pm45^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=\pm45^\circ+360^\circ k$.