📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $-\frac{4}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע שני. לכן $\cos\alpha=-\frac{4}{5}$.
2. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\cos(330^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
3. $x=45^\circ+360^\circ k$ או $x=135^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\sin x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+360^\circ k$ או $x=180^\circ-\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ היא זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=45^\circ+360^\circ k$ או $x=135^\circ+360^\circ k$.
4. $1$ — הערך $\cos(0^\circ)=1$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
5. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
6. $\sqrt{49}=7$ — $c^2=25+64-2\cdot5\cdot8\cdot\frac12=89-40=49,\ c=7$.
7. $0$ — מתקיים $\tan(360^\circ)=\frac{\sin(360^\circ)}{\cos(360^\circ)}=0$.
8. $\frac{\pi}{2}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $90^\circ=90\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{2}$.
9. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
10. $\frac{24}{25}$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה: $2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{24}{25}$.
11. $x=0^\circ,\ x=180^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=0^\circ,\ x=180^\circ$.
12. $1$ — $225^\circ=180^\circ+45^\circ$ נמצא ברביע השלישי, עם זווית ייחוס $45^\circ$. ברביע השלישי גם הסינוס וגם הקוסינוס שליליים: $\sin(225^\circ)=-\sin(45^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(225^\circ)=-\cos(45^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. לכן $\tan(225^\circ)=\frac{\sin(225^\circ)}{\cos(225^\circ)}=\frac{-\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2}=1$.
13. $\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$.
14. $x=135^\circ,\ x=225^\circ$ — זווית העזר: $\cos(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$. מכיוון ש-$\cos x$ שלילי, $x$ ברביע השני או השלישי: $x=180^\circ-45^\circ=135^\circ$ או $x=180^\circ+45^\circ=225^\circ$.
15. $210^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{7\pi}{6}=210^\circ$.