תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
2. $\dfrac{1}{2}$ — ערך טריגונומטרי ידוע: $\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$.
3. $180^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\pi=180^\circ$.
4. $135^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$.
5. $-4$ — המינימום מתקבל כש-$\cos x=-1$: $3\cdot(-1)-1=-4$.
6. $\sin(2\alpha)$ — זוהי נוסחת הזווית הכפולה לסינוס בכיוון ההפוך. לכן התשובה היא $\sin(2\alpha)$.
7. $0$ — מתקיים $\tan(180^\circ)=\frac{\sin(180^\circ)}{\cos(180^\circ)}=0$.
8. $\cos\alpha$ — $\cos$ היא פונקציה זוגית. לכן התשובה היא $\cos\alpha$.
9. $\frac{7}{25}$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה: $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25}$.
10. $0$ — מתקיים $\tan(360^\circ)=\frac{\sin(360^\circ)}{\cos(360^\circ)}=0$.
11. $x=60^\circ+360^\circ k$ או $x=120^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\sin x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+360^\circ k$ או $x=180^\circ-\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ היא זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=60^\circ+360^\circ k$ או $x=120^\circ+360^\circ k$.
12. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\sin(225^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
13. $360^\circ$ — התקופה הבסיסית של סינוס היא $360^\circ$.
14. $-\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}$.
15. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(120^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
16. $1$ — הערך $\cos(360^\circ)=1$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
17. $\frac{\pi}{2}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $90^\circ=90\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{2}$.
18. $x=60^\circ,\ x=300^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=60^\circ,\ x=300^\circ$.
19. $120^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{2\pi}{3}=120^\circ$.
20. $\frac{2\pi}{3}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $120^\circ=120\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{2\pi}{3}$.
21. $1$ — מתקיים $\tan(45^\circ)=\frac{\sin(45^\circ)}{\cos(45^\circ)}=1$.
22. $1$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(2\pi\right)=1$.
23. $\frac{3\pi}{4}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $135^\circ=135\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{3\pi}{4}$.
24. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
25. $150^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{5\pi}{6}=150^\circ$.
26. $3$ — המשרעת היא הערך המוחלט של המקדם, $3$.
27. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
28. $x=-30^\circ+360^\circ k$ או $x=210^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\sin x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+360^\circ k$ או $x=180^\circ-\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ היא זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=-30^\circ+360^\circ k$ או $x=210^\circ+360^\circ k$.
29. $\tan\alpha$ — זוהי הגדרת הטנגנס. לכן התשובה היא $\tan\alpha$.
30. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\cos(225^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
31. $1$ — מתקיים $\tan(225^\circ)=\frac{\sin(225^\circ)}{\cos(225^\circ)}=1$.
32. $0$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(2\pi\right)=0$.
33. $90^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{\pi}{2}=90^\circ$.
34. $x=45^\circ,\ x=225^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=45^\circ,\ x=225^\circ$.
35. $\frac{3\pi}{2}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $270^\circ=270\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{3\pi}{2}$.