15 שאלות טריגונומטריה מתקדמת לבגרות 5 יח"ל: זהויות סכום והפרש, זווית כפולה, משוואות מורכבות וחוקי סינוס/קוסינוס.

📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"א · 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

טריגונומטריה מתקדמת ב-5 יח"ל מרחיבה את הנושא הרבה מעבר לרמת 4 היחידות, ומשלבת זהויות מתוחכמות עם פתרון משוואות במעגל היחידה. דף תרגול טריגונומטריה זה כולל 15 שאלות מודרגות ברמת 5 יח"ל: זהויות הסכום וההפרש sin(α±β) ו-cos(α±β); זהויות הזווית הכפולה sin2x=2sinxcosx ו-cos2x=cos²x−sin²x; פישוט ביטויים טריגונומטריים מורכבים; פתרון משוואות טריגונומטריות הדורשות שימוש בזהויות לפני הפתרון, כולל פתרון כללי במעגל היחידה; חוק הסינוסים וחוק הקוסינוסים בבעיות משולש מורכבות; ובעיות יישומיות מתקדמות. השאלות בסגנון שאלוני 5 יח"ל ומדגישות את הצעד הקריטי — בחירת הזהות הנכונה. זמן מומלץ: כ-70 דקות.

1.מהו $cos (33 0^{\circ})$ ?
(א) $\frac{2}{2}$
(ב) $0$
(ג) $\frac{3}{2}$ ✓
(ד) $\frac{1}{2}$
2.מהו $cos (3 0^{\circ})$ ?
(א) $0$
(ב) $\frac{3}{2}$ ✓
(ג) $\frac{1}{2}$
(ד) $\frac{2}{2}$
3.מהו $tan (\frac{5 π}{3})$ ?
(א) $1$
(ב) $\frac{3}{3}$
(ג) $- 3$ ✓
(ד) $0$
4.כמה רדיאנים שווה הזווית $1 5^{\circ}$ ?
(א) $\frac{π}{6}$
(ב) $\frac{π}{4}$
(ג) $\frac{π}{3}$
(ד) $\frac{π}{12}$ ✓
5.השלימו את הזהות: $cos (α - β) = ?$
(א) $cos α cos β + sin α sin β$ ✓
(ב) $sin α cos β - cos α sin β$
(ג) $cos α cos β - sin α sin β$
(ד) $sin α cos β + cos α sin β$
6.מהו $cos (22 5^{\circ})$ ?
(א) $- \frac{2}{2}$ ✓
(ב) $0$
(ג) $\frac{2}{2}$
(ד) $\frac{1}{2}$
7.כמה מעלות שווה הזווית $\frac{π}{3}$ רדיאנים?
(א) $6 0^{\circ}$ ✓
(ב) $3 0^{\circ}$
(ג) $9 0^{\circ}$
(ד) $4 5^{\circ}$
8.נתון $sin α = \frac{4}{5}$ . מהו $cos (2 α)$ ?
(א) $\frac{18}{25}$
(ב) $- \frac{7}{25}$ ✓
(ג) $\frac{7}{25}$
(ד) $\frac{32}{25}$
9.פתרו את המשוואה $sin x = \frac{2}{2}$ (פתרון כללי).
(א) $x = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} k$ או $x = - 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
(ב) $x = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} k$ או $x = 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} k$ ✓
(ג) $x = 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
(ד) $x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} k$
10.השלימו את הזהות: $\frac{s i n α}{c o s α} = ?$
(א) $cot α$
(ב) $sin α cos α$
(ג) $1$
(ד) $tan α$ ✓
11.כמה רדיאנים שווה הזווית $22 5^{\circ}$ ?
(א) $\frac{5 π}{4}$ ✓
(ב) $\frac{π}{6}$
(ג) $\frac{π}{3}$
(ד) $\frac{π}{4}$
12.כמה רדיאנים שווה הזווית $6 0^{\circ}$ ?
(א) $\frac{π}{3}$ ✓
(ב) $\frac{π}{4}$
(ג) $\frac{π}{2}$
(ד) $\frac{π}{6}$
13.מהו $tan (\frac{2 π}{3})$ ?
(א) $\frac{3}{3}$
(ב) $0$
(ג) $1$
(ד) $- 3$ ✓
14.מהו $sin (18 0^{\circ})$ ?
(א) $\frac{1}{2}$
(ב) $\frac{2}{2}$
(ג) $0$ ✓
(ד) $\frac{3}{2}$
15.מהו $sin (\frac{5 π}{6})$ ?
(א) $\frac{1}{2}$ ✓
(ב) $\frac{3}{2}$
(ג) $\frac{2}{2}$
(ד) $0$

מפתח תשובות

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\cos(330^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$-\sqrt{3}$ — $\frac{5\pi}{3}=300^\circ$ נמצא ברביע הרביעי, וזווית הייחוס שלו היא $360^\circ-300^\circ=60^\circ$. ברביע הרביעי הסינוס שלילי והקוסינוס חיובי: $\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right)=-\sin(60^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)=\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}$. לכן $\tan\left(\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{\sin(5\pi/3)}{\cos(5\pi/3)}=\frac{-\sqrt{3}/2}{1/2}=-\sqrt{3}$.
$\frac{\pi}{12}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $15^\circ=15\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{12}$.
$\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$ — אפשר לגזור את נוסחת ההפרש לקוסינוס מנוסחת הסכום: $\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha+(-\beta))=\cos\alpha\cos(-\beta)-\sin\alpha\sin(-\beta)$. מכיוון ש-$\cos$ זוגית ($\cos(-\beta)=\cos\beta$) ו-$\sin$ אי-זוגית ($\sin(-\beta)=-\sin\beta$), מקבלים $\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\cdot(-\sin\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$.
$-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\cos(225^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$60^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{\pi}{3}=60^\circ$.
$-\frac{7}{25}$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה: $1-2\sin^2\alpha=1-2\cdot\frac{16}{25}=-\frac{7}{25}$.
$x=45^\circ+360^\circ k$ או $x=135^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\sin x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+360^\circ k$ או $x=180^\circ-\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ היא זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=45^\circ+360^\circ k$ או $x=135^\circ+360^\circ k$.
$\tan\alpha$ — זוהי הגדרת הטנגנס. לכן התשובה היא $\tan\alpha$.
$\frac{5\pi}{4}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $225^\circ=225\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{4}$.
$\frac{\pi}{3}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $60^\circ=60\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{3}$.
$-\sqrt{3}$ — מתקיים $\tan\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)}=-\sqrt{3}$.
$0$ — הערך $\sin(180^\circ)=0$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: היכל הטריגונומטריה. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"א · 5 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📐 תרגול טריגונומטריה — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'