אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. x(x + 2) — גורם משותף x: x(x + 2).
2. (x + 4)(x + 5) — מכפלה 20 וסכום 9: 4 ו-5.
3. 60 ק"מ — מרחק $=$ מהירות $\cdot$ זמן $= 15 \cdot 4 = 60$ ק"מ.
4. x — מצמצמים $x: x^{2}/x = x ($עבור $x \ne 0)$.
5. 5 — $8000\cdot1.1^4=8000\cdot1.4641\approx11{,}712.8$ ₪ — עדיין פחות מ-$12{,}000$. $8000\cdot1.1^5=8000\cdot1.61051\approx12{,}884.1$ ₪ — עובר את היעד. לכן $t=5$.
6. $x = 7$ — $2x - 10 + 3 = x → 2x - 7 = x → x = 7$.
7. 8 — $2x + 7 = 23 → 2x = 16 → x = 8$.
8. 5(2x - 3) — גורם משותף 5: 5(2x - 3).
9. $x = -3$ או $x = 4$ — $a=1, b=-1, c=-12$. דיסקרימיננטה $= (-1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{1 \pm 7}{2}$, ולכן $x = -3$ או $x = 4$.
10. $x \ge 4$ — מחסרים $6$ משני אגפי אי-השוויון: $x + 6 - 6 \ge 10 - 6$, ומקבלים $x \ge 4$. פעולת חיסור אינה משנה את כיוון אי-השוויון, לכן הפתרון הוא כל $x$ גדול או שווה ל-$4$.
11. $x = 5$ — נעביר את -3 לאגף ימין: $5x = 22 + 3 = 25$. נחלק ב-$5: x = \frac{25}{5} = 5$.
12. $x = 3, y = 4$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 4$. בדיקה: $2 \cdot 3 + (3) \cdot 4 = 18$, וכן $1 \cdot 3 + (-1) \cdot 4 = -1$.
13. $x = 3$ — נעביר את 1 לאגף ימין: $8x = 25 - 1 = 24$. נחלק ב-$8: x = \frac{24}{8} = 3$.
14. 1 שעה — להולך יתרון של $5 \cdot 2 = 10$ ק"מ. מהירות ההתקרבות $= 15 - 5 = 10$ קמ"ש. הזמן $= \frac{10}{10} = 1$ שעה.
15. x + 10 — $4x + 4 - 3x + 6 = x + 10$.
16. (x + 3)(x - 2) — מכפלה -6 וסכום 1: 3 ו-2-.
17. 8 ש"ח — נסמן מחיר מחברת $m: 3m + 5 = 29 → 3m = 24 → m = 8$ ש"ח.
18. $x^{2} - 16$ — הפרש ריבועים: $x^{2} - 16$.
19. 20% — כמות החומר $= 4 \cdot 0.25 = 1$ ליטר. נפח כולל $= 1 + 4 = 5$ ליטר. ריכוז $= \frac{1}{5} = 0.20 = 20%$.
20. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $4 \cdot 3 + (1) \cdot 2 = 14$, וכן $2 \cdot 3 + (-3) \cdot 2 = 0$.
21. $x^{2} - 1$ — הפרש ריבועים: $x^{2} - 1$.
22. $2x^{2} - 5x - 3$ — $2x^{2} - 6x + x - 3 = 2x^{2} - 5x - 3$.
23. $(x + 3)^{2}$ — ריבוע שלם: $(x+3)^{2}$.
24. $x^{2} + 10x + 25$ — $(x+5)^{2} = x^{2} + 2 \cdot 5 \cdot x + 25 = x^{2} + 10x + 25$.
25. x > -5 — -x < 5 → x > -5 (היפוך סימן).
26. $x = 2$ או $x = 8$ — $a=1, b=-10, c=16$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot (16) = 36, \sqrt{36} = 6. x = \frac{10 \pm 6}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 8$.
27. $x = 3$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-6, c=9$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (9) = 0$, ו-$\sqrt{0} = 0. x = \frac{6 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 3$ (פתרון כפול).
28. (x - 7)(x + 7) — הפרש ריבועים: (x-7)(x+7).
29. $x = 10$ — $x + 2 = 12 → x = 10$.
30. עלייה של 4% בשנה (q=1.04) — $q^2=\dfrac{54{,}080}{50{,}000}=1.0816$, ולכן $q=\sqrt{1.0816}=1.04$ — עלייה שנתית של $4\%$. התשובה $8.16\%$ מתקבלת בטעות מהשוואת הגידול הכולל לשתי השנים לגידול של שנה אחת, בלי להוציא שורש.
31. 28 — $\frac{x}{4} + 5 = 12 → \frac{x}{4} = 7 → x = 28$.
32. 220 ש"ח — הטיפ $= 10%$ מ-$200 = 20$ ש"ח. סך הכל $= 200 + 20 = 220$ ש"ח.
33. $x = 5$ — נעביר את -2 לאגף ימין: $7x = 33 + 2 = 35$. נחלק ב-$7: x = \frac{35}{7} = 5$.
34. $\frac{x}{2}$ — מכנה משותף $6: \frac{2x + x}{6} = 3\frac{x}{6} = \frac{x}{2}$.
35. $x = 1$ או $x = 4$ — $a=1, b=-5, c=4$. דיסקרימיננטה $= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (4) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{5 \pm 3}{2}$, ולכן $x = 1$ או $x = 4$.