אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x = -\frac{1}{3}$ או $x = 1$ — $a=3, b=-2, c=-1$. דיסקרימיננטה $= (-2)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16, \sqrt{16} = 4. x = \frac{2 \pm 4}{6}$, ולכן $x = -\frac{1}{3}$ או $x = 1$.
2. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $10x - 6x = 13 - (1)$, כלומר $4x = 12$. לכן $x = \frac{12}{4} = 3$.
3. $x^{2} + 5x + 6$ — $x \cdot x + 3x + 2x + 6 = x^{2} + 5x + 6$.
4. $x = 8$ — $\frac{x}{2} = 4 → x = 8$.
5. $x = 5$ — $6x + 3 = 5x + 8 → x = 5$.
6. $x^{2} + 6x$ — $x^{2} + 6x + 9 - 9 = x^{2} + 6x$.
7. $x = 7$ — $3x - 12 = 9 → 3x = 21 → x = 7$.
8. $x = 4, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 4, y = 2$. בדיקה: $3 \cdot 4 + (2) \cdot 2 = 16$, וכן $1 \cdot 4 + (-1) \cdot 2 = 2$.
9. $x = -4$ או $x = -1$ — $a=1, b=5, c=4$. דיסקרימיננטה $= (5)^{2} - 4 \cdot (4) = 9, \sqrt{9} = 3. x = \frac{-5 \pm 3}{2}$, ולכן $x = -4$ או $x = -1$.
10. $x = -6$ או $x = 2$ — $a=1, b=4, c=-12$. דיסקרימיננטה $= (4)^{2} - 4 \cdot (-12) = 64, \sqrt{64} = 8. x = \frac{-4 \pm 8}{2}$, ולכן $x = -6$ או $x = 2$.
11. $x = 5$ — נעביר את -2 לאגף ימין: $7x = 33 + 2 = 35$. נחלק ב-$7: x = \frac{35}{7} = 5$.
12. $x = 5, y = 4$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 5, y = 4$. בדיקה: $1 \cdot 5 + (1) \cdot 4 = 9$, וכן $3 \cdot 5 + (1) \cdot 4 = 19$.
13. $x = -4$ — נעביר את 9 לאגף ימין: $2x = 1 - 9 = -8$. נחלק ב-$2: x = -\frac{8}{2} = -4$.
14. 27,040 ₪ — המודל: $M=M_0\cdot q^t$ כאשר $q=1.04$. לכן $M=25{,}000\cdot 1.04^2=25{,}000\cdot 1.0816=27{,}040$ ₪. הטעות ב-27,000 היא חישוב ריבית פשוטה ($25{,}000+25{,}000\cdot0.04\cdot2$) במקום דריבית.
15. $x = 9$ — נעביר את 0 לאגף ימין: $6x = 54 - 0 = 54$. נחלק ב-$6: x = \frac{54}{6} = 9$.
16. 60 — $\frac{x}{5} = 12 → x = 60$.
17. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $4 \cdot 3 + (1) \cdot 2 = 14$, וכן $2 \cdot 3 + (-3) \cdot 2 = 0$.
18. 5x - 3 — $6x - 3 - x = 5x - 3$.
19. $x^{2} + 6x$ — $x^{2} + 4x + 2x = x^{2} + 6x$.
20. 100,000 ₪ — גורם השינוי הכולל הוא $0.95^2\cdot1.02=0.9025\cdot1.02=0.92055$. לכן $M_0\cdot0.92055=92055$, ומכאן $M_0=92055/0.92055=100{,}000$ ₪.
21. פתרון יחיד (כפול) — דיסקרימיננטה $= 36 - 36 = 0$, לכן יש פתרון יחיד: $x = 3$. אכן $x^{2}-6x+9 = (x-3)^{2}$.
22. 75 ק"מ — 90 דקות $= 1.5$ שעות. מרחק $= 50 \cdot 1.5 = 75$ ק"מ.
23. ירידה של 7% בכל שנה ביחס לערך של השנה הקודמת — $q=1-r$ כאשר $r$ הוא אחוז הירידה. $q=0.93=1-0.07$, כלומר בכל שנה נשארים $93\%$ מהערך של השנה הקודמת — ירידה של $7\%$ ביחס לשנה שקדמה, ולא ביחס לערך ההתחלתי.
24. 3 שעות — קצב משותף $= \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ לשעה. הזמן $= 1$ חלקי $\frac{1}{3} = 3$ שעות.
25. 60 ש"ח — ההנחה $= 25%$ מ-$80 = 20$ ש"ח. המחיר $= 80 - 20 = 60$ ש"ח.
26. 2a + 6b — $3a - a + 2b + 4b = 2a + 6b$.
27. (x - 3)(x + 3) — הפרש ריבועים: $x^{2} - 3^{2} = (x-3)(x+3)$.
28. $x^{2} + 3x - 10$ — $x^{2} + 5x - 2x - 10 = x^{2} + 3x - 10$.
29. גידול של 4% בכל שנה ביחס לערך של השנה הקודמת — $q=1+r$ כאשר $r$ הוא אחוז הגידול. $q=1.04$ אומר שבכל שנה הערך גדל ב-$4\%$ ביחס לערך של השנה הקודמת (ולא ביחס לערך ההתחלתי) — זהו המהות של גידול מעריכי (דריבית).
30. x + 2 — מוציאים 3 במונה: $3\frac{x+2}{3} = x+2$.
31. 8 — $2x + 7 = 23 → 2x = 16 → x = 8$.
32. 5 חודשים — $350 + 50t = 600 → 50t = 250 → t = 5$.
33. 7x — איברים דומים: $4x + 3x = 7x$.
34. $x = 5$ — נעביר את -7 לאגף ימין: $4x = 13 + 7 = 20$. נחלק ב-$4: x = \frac{20}{4} = 5$.
35. x(x + 2) — גורם משותף x: x(x + 2).