אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x^{2} + 5x + 6$ — $x \cdot x + 3x + 2x + 6 = x^{2} + 5x + 6$.
2. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $8x - 3x = 11 - (-4)$, כלומר $5x = 15$. לכן $x = \frac{15}{5} = 3$.
3. $x = -\frac{1}{3}$ או $x = 1$ — $a=3, b=-2, c=-1$. דיסקרימיננטה $= (-2)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16, \sqrt{16} = 4. x = \frac{2 \pm 4}{6}$, ולכן $x = -\frac{1}{3}$ או $x = 1$.
4. $x = 4$ — נעביר את 7 לאגף ימין: $10x = 47 - 7 = 40$. נחלק ב-$10: x = \frac{40}{10} = 4$.
5. $x = -6$ או $x = 2$ — $a=1, b=4, c=-12$. דיסקרימיננטה $= (4)^{2} - 4 \cdot (-12) = 64, \sqrt{64} = 8. x = \frac{-4 \pm 8}{2}$, ולכן $x = -6$ או $x = 2$.
6. 7,220 — כאן $q=1-0.05=0.95$, ולכן $M=8{,}000\cdot 0.95^2=8{,}000\cdot 0.9025=7{,}220$. 7,200 מתקבל מחישוב ירידה ליניארית (פשוטה) במקום דריבית, ו-8,820 מתקבל מהצבת $q=1.05$ בטעות (כיוון הפוך).
7. 20 — היום יוסי בן $10 + 4 = 14$. בעוד 6 שנים: $14 + 6 = 20$.
8. $(x + 4)^{2}$ — ריבוע שלם: $x^{2} + 2 \cdot 4 \cdot x + 4^{2} = (x+4)^{2}$.
9. 2x — $8\frac{x}{4} = 2x$.
10. $x = 3$ או $x = 7$ — $a=1, b=-10, c=21$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot (21) = 16, \sqrt{16} = 4. x = \frac{10 \pm 4}{2}$, ולכן $x = 3$ או $x = 7$.
11. $x = 4$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-8, c=16$. דיסקרימיננטה $= (-8)^{2} - 4 \cdot (16) = 0, \sqrt{0} = 0. x = \frac{8 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 4$ (פתרון כפול).
12. 44,100 ₪ — $M=40{,}000\cdot 1.05^2=40{,}000\cdot 1.1025=44{,}100$ ₪. הערך 44,000 מתקבל מחישוב ריבית פשוטה, ו-36,100 מתקבל מהצבת $q=0.95$ בטעות (כיוון הפוך).
13. $(x + 3)^{2}$ — ריבוע שלם: $(x+3)^{2}$.
14. 10% בשנה — אם שיעור הירידה השנתי הוא $r$, אז גורם השינוי השנתי הוא $q=1-r$, וגורם השינוי הכולל לאחר שנתיים הוא $q^2$. נתון $q^2=1-0.19=0.81$, ומכאן $q=0.9$, כלומר ירידה של $10\%$ בשנה. בדיקה: $0.9^2=0.81$, שזה בדיוק ירידה כוללת של $19\%$.
15. 60 — $\frac{x}{5} = 12 → x = 60$.
16. $x = -3$ או $x = 1$ — $a=1, b=2, c=-3$. דיסקרימיננטה $= (2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16$, ו-$\sqrt{16} = 4. x = \frac{-2 \pm 4}{2}$, ולכן $x = -3$ או $x = 1$.
17. 240 ש"ח — 12 חודשים בנפרד: $12 \cdot 120 = 1440$ ש"ח. החיסכון $= 1440 - 1200 = 240$ ש"ח.
18. $x = 2$ או $x = 7$ — $a=1, b=-9, c=14$. דיסקרימיננטה $= (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (14) = 25$, ו-$\sqrt{25} = 5. x = \frac{9 \pm 5}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 7$.
19. $x = 12$ — $\frac{x}{4} = 3 → x = 12$.
20. 138 ש"ח — התוספת $= 15%$ מ-$120 = 18$ ש"ח. המחיר $= 120 + 18 = 138$ ש"ח.
21. 7 שנים — $14 + t = 21 → t = 7$ שנים.
22. $x = 14$ — נוסיף 9 לשני האגפים: $x = 5 + 9 = 14$.
23. $x = 1$ או $x = 8$ — $a=1, b=-9, c=8$. דיסקרימיננטה $= (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (8) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{9 \pm 7}{2}$, ולכן $x = 1$ או $x = 8$.
24. x < 4 — 3x < 12 → x < 4.
25. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $1 \cdot 3 + (1) \cdot 2 = 5$, וכן $1 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 = 1$.
26. $x = 5$ — $2x + 6 = 16 → 2x = 10 → x = 5$.
27. $x^{2} - 1$ — הפרש ריבועים: $x^{2} - 1$.
28. $x = 1$ או $x = 4$ — $a=1, b=-5, c=4$. דיסקרימיננטה $= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (4) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{5 \pm 3}{2}$, ולכן $x = 1$ או $x = 4$.
29. חיסכון C גדול מחיסכון D בכ-544 ₪ — $C_8=6000\cdot1.1^8=6000\cdot2.143589\approx12{,}861.5$ ₪. $D_8=9000\cdot1.04^8=9000\cdot1.368569\approx12{,}317.1$ ₪. ההפרש: $12{,}861.5-12{,}317.1\approx544$ ₪, כך שחיסכון C גדול יותר, למרות שהתחיל עם סכום נמוך יותר, בזכות הריבית הגבוהה יותר.
30. $x^{2} + 6x$ — $x^{2} + 6x + 9 - 9 = x^{2} + 6x$.
31. 101,568 ₪ — $q=1-0.08=0.92$, ולכן $M=120{,}000\cdot 0.92^2=120{,}000\cdot 0.8464=101{,}568$ ₪. 100,800 מתקבל מפחת ליניארי (פשוט), ו-139,968 מתקבל בטעות עם $q=1.08$ (כיוון הפוך).
32. ירידה של 7% בכל שנה ביחס לערך של השנה הקודמת — $q=1-r$ כאשר $r$ הוא אחוז הירידה. $q=0.93=1-0.07$, כלומר בכל שנה נשארים $93\%$ מהערך של השנה הקודמת — ירידה של $7\%$ ביחס לשנה שקדמה, ולא ביחס לערך ההתחלתי.
33. עקומה עולה שקצב העלייה שלה (השיפוע) הולך וגדל ככל שהזמן מתקדם — מכיוון ש-$q=1.06>1$, הפונקציה עולה, וכיוון שהגידול הוא באחוז קבוע מבסיס גדל, קצב העלייה (התוספת בש"ח לכל שנה) הולך וגדל — הגרף הוא עקומה 'משתפלת כלפי מעלה' (קמורה), בניגוד לקו ישר שמאפיין גידול ליניארי בקצב קבוע.
34. 800 קמ"ש — מהירות $= \frac{2400}{3} = 800$ קמ"ש.
35. $x = 7$ — $2x - 10 + 3 = x → 2x - 7 = x → x = 7$.