אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $2x^{2} - 5x - 3$ — $2x^{2} - 6x + x - 3 = 2x^{2} - 5x - 3$.
2. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $6x - 2x = 17 - (5)$, כלומר $4x = 12$. לכן $x = \frac{12}{4} = 3$.
3. 3 שעות — זמן $=$ מרחק $/$ מהירות $= \frac{240}{80} = 3$ שעות.
4. 3(2x + 3) — גורם משותף 3: 3(2x + 3).
5. $x = -3$ או $x = 1$ — $a=1, b=2, c=-3$. דיסקרימיננטה $= (2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16$, ו-$\sqrt{16} = 4. x = \frac{-2 \pm 4}{2}$, ולכן $x = -3$ או $x = 1$.
6. 24 ש"ח — מחיר בקבוק $= \frac{15}{5} = 3$ ש"ח. עבור 8 בקבוקים: $8 \cdot 3 = 24$ ש"ח.
7. $x = 3$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-6, c=9$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (9) = 0$, ו-$\sqrt{0} = 0. x = \frac{6 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 3$ (פתרון כפול).
8. 80 גרם — בתחילה מלח $= 10%$ מ-$300 = 30$ גרם. אחרי הוספה: $30 + 50 = 80$ גרם.
9. $x = 10$ — $x + 2 = 12 → x = 10$.
10. x — מצמצמים $x: x^{2}/x = x ($עבור $x \ne 0)$.
11. 6 — $25000\cdot1.03^5=25000\cdot1.159274\approx28{,}981.9$ ₪ — עדיין פחות מ-$29{,}000$ (בהפרש קטן!). $25000\cdot1.03^6=25000\cdot1.194052\approx29{,}851.3$ ₪ — עובר את היעד. לכן $t=6$.
12. 800 קמ"ש — מהירות $= \frac{2400}{3} = 800$ קמ"ש.
13. 8 ו-4 — נסמן $x+y=12, x-y=4$. נחבר את המשוואות: $2x = 16, x = 8$, ואז $y = 4$.
14. פתרון יחיד (כפול) — דיסקרימיננטה $= 36 - 36 = 0$, לכן יש פתרון יחיד: $x = 3$. אכן $x^{2}-6x+9 = (x-3)^{2}$.
15. $x^{2} + 6x$ — $x^{2} + 4x + 2x = x^{2} + 6x$.
16. x > -5 — -x < 5 → x > -5 (היפוך סימן).
17. x < 4 — נחסר 5: x < 4.
18. $x = -3$ או $x = 4$ — $a=1, b=-1, c=-12$. דיסקרימיננטה $= (-1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{1 \pm 7}{2}$, ולכן $x = -3$ או $x = 4$.
19. $x \le 5$ — כדי לבודד את $x$, מחלקים את שני אגפי אי-השוויון ב-$5$ (מספר חיובי, ולכן סימן אי-השוויון נשמר): $\frac{5x}{5} \le \frac{25}{5}$, ומקבלים $x \le 5$.
20. $x = 8$ — $-\frac{x}{2} = -4 → x = 8$.
21. ירידה של 2% בשנה (q=0.98) — $q^2=\dfrac{38{,}416}{40{,}000}=0.9604$, ולכן $q=\sqrt{0.9604}=0.98$ — ירידה של $2\%$ בשנה. הטעות בתשובה $4\%$ נובעת מכפל האחוז הכולל בטעות במקום הוצאת שורש.
22. $x^{2} + 3x - 10$ — $x^{2} + 5x - 2x - 10 = x^{2} + 3x - 10$.
23. $x = 1$ או $x = 4$ — $a=1, b=-5, c=4$. דיסקרימיננטה $= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (4) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{5 \pm 3}{2}$, ולכן $x = 1$ או $x = 4$.
24. $x = 7$ — $3x - 12 = 9 → 3x = 21 → x = 7$.
25. $x = 7$ או $x = -7$ — נוציא שורש לשני האגפים: $x = \pm \sqrt{49} = \pm 7$. לכן $x = 7$ או $x = -7$.
26. 9 — בנים x, בנות 2x. אז $x + 2x = 27 → 3x = 27 → x = 9$.
27. 2x(x + 2) — גורם משותף 2x: 2x(x + 2).
28. 7x — איברים דומים: $4x + 3x = 7x$.
29. גידול של 4% בכל שנה ביחס לערך של השנה הקודמת — $q=1+r$ כאשר $r$ הוא אחוז הגידול. $q=1.04$ אומר שבכל שנה הערך גדל ב-$4\%$ ביחס לערך של השנה הקודמת (ולא ביחס לערך ההתחלתי) — זהו המהות של גידול מעריכי (דריבית).
30. $x = 14$ — נוסיף 9 לשני האגפים: $x = 5 + 9 = 14$.
31. 4(x + 2) — גורם משותף 4: 4(x + 2).
32. 2 שעות — המרחק $= 60 \cdot 3 = 180$ ק"מ. זמן החזרה $= \frac{180}{90} = 2$ שעות.
33. 3(x - 2)(x + 2) — הוצאת $3: 3(x^{2} - 4) = 3(x-2)(x+2)$.
34. $x = -1$ או $x = 6$ — $a=1, b=-5, c=-6$. דיסקרימיננטה $= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{5 \pm 7}{2}$, ולכן $x = -1$ או $x = 6$.
35. 1 שעה — להולך יתרון של $5 \cdot 2 = 10$ ק"מ. מהירות ההתקרבות $= 15 - 5 = 10$ קמ"ש. הזמן $= \frac{10}{10} = 1$ שעה.