אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x \ge 3$ — $-2x \le -6 → x \ge 3 ($היפוך סימן).
2. 200 ש"ח — אחרי הנחה של 20% משלמים 80% מהמחיר: $0.8 \cdot x = 160$, ולכן $x = \frac{160}{0}.8 = 200$ ש"ח.
3. 80 גרם — בתחילה מלח $= 10%$ מ-$300 = 30$ גרם. אחרי הוספה: $30 + 50 = 80$ גרם.
4. 20 — היום יוסי בן $10 + 4 = 14$. בעוד 6 שנים: $14 + 6 = 20$.
5. 16 ש"ח — עלות כוללת $= 4 \cdot 10 + 6 \cdot 20 = 40 + 120 = 160$ ש"ח. משקל כולל $= 10$ ק"ג. ממוצע $= \frac{160}{10} = 16$ ש"ח.
6. (x + 3)(x - 2) — מכפלה -6 וסכום 1: 3 ו-2-.
7. 8 — $40000\cdot1.02^7=40000\cdot1.148686\approx45{,}947.4$ ₪ — עדיין פחות מ-$46{,}000$. $40000\cdot1.02^8=40000\cdot1.171659\approx46{,}866.4$ ₪ — עובר את היעד. לכן $t=8$.
8. $x = 3$ — נעביר את 2 לאגף ימין: $9x = 29 - 2 = 27$. נחלק ב-$9: x = \frac{27}{9} = 3$.
9. $x^{2} + 10x + 25$ — $(x+5)^{2} = x^{2} + 2 \cdot 5 \cdot x + 25 = x^{2} + 10x + 25$.
10. $\frac{2}{x}$ — מכנה משותף $x: \frac{5 - 3}{x} = \frac{2}{x}$.
11. $x \le -3$ — מחלקים ב-(-3) והופכים סימן: $x \le -3$.
12. 3 שעות — זמן $=$ מרחק $/$ מהירות $= \frac{240}{80} = 3$ שעות.
13. גידול של 4% בכל שנה ביחס לערך של השנה הקודמת — $q=1+r$ כאשר $r$ הוא אחוז הגידול. $q=1.04$ אומר שבכל שנה הערך גדל ב-$4\%$ ביחס לערך של השנה הקודמת (ולא ביחס לערך ההתחלתי) — זהו המהות של גידול מעריכי (דריבית).
14. $x = -3$ או $x = 4$ — $a=1, b=-1, c=-12$. דיסקרימיננטה $= (-1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{1 \pm 7}{2}$, ולכן $x = -3$ או $x = 4$.
15. 71,461 ₪ — $M=60{,}000\cdot 1.06^3=60{,}000\cdot 1.191016\approx 71{,}461$ ₪. 70,800 הוא חישוב ריבית פשוטה, 67,416 מתקבל מהעלאה בחזקת $2$ בלבד, ו-49,835 מתקבל בטעות עם $q=0.94$.
16. 5 — $East_t=4000\cdot1.07^t$, $West_t=7000\cdot0.94^t$. עבור $t=4$: $East_4\approx5{,}243.2$, $West_4\approx5{,}465.2$ — עדיין $East<West$. עבור $t=5$: $East_5=4000\cdot1.402552\approx5{,}610.2$, $West_5=7000\cdot0.733904\approx5{,}137.3$ — כעת $East>West$. לכן התשובה היא $t=5$.
17. $x = -2$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $5x - 2x = 3 - (9)$, כלומר $3x = -6$. לכן $x = -\frac{6}{3} = -2$.
18. $x = 9$ — נעביר את 0 לאגף ימין: $6x = 54 - 0 = 54$. נחלק ב-$6: x = \frac{54}{6} = 9$.
19. 49,680 ₪ — אחרי הירידה: $50000\cdot0.92=46{,}000$ ₪. אחרי העלייה: $46000\cdot1.08=49{,}680$ ₪. שימו לב שהסכום הסופי נמוך מהסכום ההתחלתי, למרות שאחוז הירידה ואחוז העלייה זהים — משום שהעלייה מחושבת על בסיס קטן יותר (הגורם הכולל $0.92\cdot1.08=0.9936<1$).
20. 800 קמ"ש — מהירות $= \frac{2400}{3} = 800$ קמ"ש.
21. 7 שנים — $14 + t = 21 → t = 7$ שנים.
22. 28 — $\frac{x}{4} + 5 = 12 → \frac{x}{4} = 7 → x = 28$.
23. (x + 2)(x + 3) — מחפשים שני מספרים שמכפלתם 6 וסכומם 5: 2 ו-3.
24. x > -5 — -x < 5 → x > -5 (היפוך סימן).
25. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $8x - 3x = 11 - (-4)$, כלומר $5x = 15$. לכן $x = \frac{15}{5} = 3$.
26. $x = 7$ — $2x - 10 + 3 = x → 2x - 7 = x → x = 7$.
27. 7,220 — כאן $q=1-0.05=0.95$, ולכן $M=8{,}000\cdot 0.95^2=8{,}000\cdot 0.9025=7{,}220$. 7,200 מתקבל מחישוב ירידה ליניארית (פשוטה) במקום דריבית, ו-8,820 מתקבל מהצבת $q=1.05$ בטעות (כיוון הפוך).
28. 10 ש"ח — $2 \cdot 30 + g = 70 → 60 + g = 70 → g = 10$ ש"ח.
29. 60 ש"ח — ההנחה $= 25%$ מ-$80 = 20$ ש"ח. המחיר $= 80 - 20 = 60$ ש"ח.
30. 8 — $2x + 7 = 23 → 2x = 16 → x = 8$.
31. 4(x + 2) — גורם משותף 4: 4(x + 2).
32. $x = 5, y = 2$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 5, y = 2$. בדיקה: $3 \cdot 5 + (1) \cdot 2 = 17$, וכן $2 \cdot 5 + (-1) \cdot 2 = 8$.
33. $x > 3$ — מבודדים את $x$ על ידי הוספת $3$ לשני אגפי אי-השוויון: $x - 3 + 3 > 0 + 3$, ומקבלים $x > 3$. סימן אי-השוויון נשמר כי לא כפלנו ולא חילקנו במספר שלילי.
34. 7 — $12000\cdot1.06^6=12000\cdot1.418519\approx17{,}022.2$ ₪ — עדיין פחות מ-$18{,}000$. $12000\cdot1.06^7=12000\cdot1.503630\approx18{,}043.6$ ₪ — עובר את היעד. לכן $t=7$.
35. 2a + 6b — $3a - a + 2b + 4b = 2a + 6b$.