אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x = -4$ — נעביר את 9 לאגף ימין: $2x = 1 - 9 = -8$. נחלק ב-$2: x = -\frac{8}{2} = -4$.
2. $x = 4, y = 4$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 4, y = 4$. בדיקה: $1 \cdot 4 + (1) \cdot 4 = 8$, וכן $4 \cdot 4 + (-1) \cdot 4 = 12$.
3. 7 שנים — $14 + t = 21 → t = 7$ שנים.
4. 44,100 ₪ — $M=40{,}000\cdot 1.05^2=40{,}000\cdot 1.1025=44{,}100$ ₪. הערך 44,000 מתקבל מחישוב ריבית פשוטה, ו-36,100 מתקבל מהצבת $q=0.95$ בטעות (כיוון הפוך).
5. $x = -\frac{1}{3}$ או $x = 1$ — $a=3, b=-2, c=-1$. דיסקרימיננטה $= (-2)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16, \sqrt{16} = 4. x = \frac{2 \pm 4}{6}$, ולכן $x = -\frac{1}{3}$ או $x = 1$.
6. 10% בשנה — אם שיעור הירידה השנתי הוא $r$, אז גורם השינוי השנתי הוא $q=1-r$, וגורם השינוי הכולל לאחר שנתיים הוא $q^2$. נתון $q^2=1-0.19=0.81$, ומכאן $q=0.9$, כלומר ירידה של $10\%$ בשנה. בדיקה: $0.9^2=0.81$, שזה בדיוק ירידה כוללת של $19\%$.
7. 800 קמ"ש — מהירות $= \frac{2400}{3} = 800$ קמ"ש.
8. $x = 8$ — $\frac{x}{2} = 4 → x = 8$.
9. 3x + 8 — $5x - 2x + 8 = 3x + 8$.
10. עקומה עולה שקצב העלייה שלה (השיפוע) הולך וגדל ככל שהזמן מתקדם — מכיוון ש-$q=1.06>1$, הפונקציה עולה, וכיוון שהגידול הוא באחוז קבוע מבסיס גדל, קצב העלייה (התוספת בש"ח לכל שנה) הולך וגדל — הגרף הוא עקומה 'משתפלת כלפי מעלה' (קמורה), בניגוד לקו ישר שמאפיין גידול ליניארי בקצב קבוע.
11. $x = -2$ או $x = \frac{3}{2}$ — $a=2, b=1, c=-6$. דיסקרימיננטה $= (1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 49, \sqrt{49} = 7. x = \frac{-1 \pm 7}{4}$, ולכן $x = -2$ או $x = \frac{3}{2}$.
12. 13,113 ₪ — $M=12{,}000\cdot 1.03^3=12{,}000\cdot 1.092727\approx 13{,}113$ ₪. 13,080 הוא חישוב ריבית פשוטה, 12,731 מתקבל מהעלאה בחזקת $2$ בלבד במקום $3$, ו-10,952 מקבלים בטעות עם $q=0.97$.
13. $x = 3$ או $x = 6$ — $a=1, b=-9, c=18$. דיסקרימיננטה $= (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (18) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{9 \pm 3}{2}$, ולכן $x = 3$ או $x = 6$.
14. $\frac{2}{x}$ — מכנה משותף $x: \frac{5 - 3}{x} = \frac{2}{x}$.
15. 5(2x - 3) — גורם משותף 5: 5(2x - 3).
16. $x = -3$ או $x = \frac{1}{2}$ — $a=2, b=5, c=-3$. דיסקרימיננטה $= (5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 49, \sqrt{49} = 7. x = \frac{-5 \pm 7}{4}$, ולכן $x = -3$ או $x = \frac{1}{2}$.
17. $x = -4$ או $x = -1$ — $a=1, b=5, c=4$. דיסקרימיננטה $= (5)^{2} - 4 \cdot (4) = 9, \sqrt{9} = 3. x = \frac{-5 \pm 3}{2}$, ולכן $x = -4$ או $x = -1$.
18. $x = 1$ או $x = 8$ — $a=1, b=-9, c=8$. דיסקרימיננטה $= (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (8) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{9 \pm 7}{2}$, ולכן $x = 1$ או $x = 8$.
19. 1 שעה — להולך יתרון של $5 \cdot 2 = 10$ ק"מ. מהירות ההתקרבות $= 15 - 5 = 10$ קמ"ש. הזמן $= \frac{10}{10} = 1$ שעה.
20. $x = 9$ — נעביר את 0 לאגף ימין: $6x = 54 - 0 = 54$. נחלק ב-$6: x = \frac{54}{6} = 9$.
21. $x = 4$ — $6x + 12 = 4x + 20 → 2x = 8 → x = 4$.
22. 15% — הירידה $= 1000 - 850 = 150$ ש"ח. אחוז הירידה $= \frac{150}{1000} = 0.15 = 15%$.
23. $x^{2} - 1$ — הפרש ריבועים: $x^{2} - 1$.
24. עלייה של 4% בשנה (q=1.04) — $q^2=\dfrac{54{,}080}{50{,}000}=1.0816$, ולכן $q=\sqrt{1.0816}=1.04$ — עלייה שנתית של $4\%$. התשובה $8.16\%$ מתקבלת בטעות מהשוואת הגידול הכולל לשתי השנים לגידול של שנה אחת, בלי להוציא שורש.
25. $x = 2$ או $x = 8$ — $a=1, b=-10, c=16$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot (16) = 36, \sqrt{36} = 6. x = \frac{10 \pm 6}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 8$.
26. $x^{2} + 6x$ — $3x^{2} + 6x - 2x^{2} = x^{2} + 6x$.
27. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $9x - 4x = 17 - (2)$, כלומר $5x = 15$. לכן $x = \frac{15}{5} = 3$.
28. 75 ק"מ — 90 דקות $= 1.5$ שעות. מרחק $= 50 \cdot 1.5 = 75$ ק"מ.
29. 10 — $x + (x+1) + (x+2) = 33 → 3x + 3 = 33 → x = 10. (10, 11, 12.)$
30. $x = 15$ — $2x = 30 → x = 15$.
31. 9 — בנים x, בנות 2x. אז $x + 2x = 27 → 3x = 27 → x = 9$.
32. $15$ ו-$5$ — נסמן את המספרים $x$ ו-$y$ כך ש-$x > y$. מהתנאים: $x + y = 20$ ו-$x = 3y$. נציב את השנייה בראשונה: $3y + y = 20 \Rightarrow 4y = 20 \Rightarrow y = 5$. לכן $x = 3 \cdot 5 = 15$. אכן $15 + 5 = 20$ ו-$15 = 3 \cdot 5$.
33. $x = 3$ או $x = 7$ — $a=1, b=-10, c=21$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot (21) = 16, \sqrt{16} = 4. x = \frac{10 \pm 4}{2}$, ולכן $x = 3$ או $x = 7$.
34. $x = 5$ או $x = -5$ — $x^{2} = 25$, ולכן $x = \pm 5. ($אפשר גם לפרק: $(x-5)(x+5)=0.)$
35. $x = 3, y = 4$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 4$. בדיקה: $1 \cdot 3 + (1) \cdot 4 = 7$, וכן $2 \cdot 3 + (1) \cdot 4 = 10$.