אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $3x - 8x = -5 - (10)$, כלומר -$5x = -15$. לכן $x = -15/-5 = 3$.
2. ירידה של 5% בשנה (q=0.95) — $q^2=\dfrac{180{,}500}{200{,}000}=0.9025$, ולכן $q=\sqrt{0.9025}=0.95$ — ירידה שנתית של $5\%$. הטעות $9.75\%$ מתקבלת מהתייחסות לשינוי הכולל של שתי השנים כאילו הוא שינוי של שנה אחת.
3. $4x^{2} - 9$ — הפרש ריבועים: $(2x)^{2} - 3^{2} = 4x^{2} - 9$.
4. 5 חודשים — $350 + 50t = 600 → 50t = 250 → t = 5$.
5. $x = -4$ — נעביר את 9 לאגף ימין: $2x = 1 - 9 = -8$. נחלק ב-$2: x = -\frac{8}{2} = -4$.
6. עלייה של 4% בשנה (q=1.04) — $q^2=\dfrac{54{,}080}{50{,}000}=1.0816$, ולכן $q=\sqrt{1.0816}=1.04$ — עלייה שנתית של $4\%$. התשובה $8.16\%$ מתקבלת בטעות מהשוואת הגידול הכולל לשתי השנים לגידול של שנה אחת, בלי להוציא שורש.
7. 7 — $12000\cdot1.06^6=12000\cdot1.418519\approx17{,}022.2$ ₪ — עדיין פחות מ-$18{,}000$. $12000\cdot1.06^7=12000\cdot1.503630\approx18{,}043.6$ ₪ — עובר את היעד. לכן $t=7$.
8. $2x^{2} - 5x - 3$ — $2x^{2} - 6x + x - 3 = 2x^{2} - 5x - 3$.
9. $x^{2} - 1$ — הפרש ריבועים: $x^{2} - 1$.
10. 16 ש"ח — עלות כוללת $= 4 \cdot 10 + 6 \cdot 20 = 40 + 120 = 160$ ש"ח. משקל כולל $= 10$ ק"ג. ממוצע $= \frac{160}{10} = 16$ ש"ח.
11. $x^{2} + 3x - 10$ — $x^{2} + 5x - 2x - 10 = x^{2} + 3x - 10$.
12. 138 ש"ח — התוספת $= 15%$ מ-$120 = 18$ ש"ח. המחיר $= 120 + 18 = 138$ ש"ח.
13. x — מצמצמים $x: x^{2}/x = x ($עבור $x \ne 0)$.
14. חיסכון C גדול מחיסכון D בכ-544 ₪ — $C_8=6000\cdot1.1^8=6000\cdot2.143589\approx12{,}861.5$ ₪. $D_8=9000\cdot1.04^8=9000\cdot1.368569\approx12{,}317.1$ ₪. ההפרש: $12{,}861.5-12{,}317.1\approx544$ ₪, כך שחיסכון C גדול יותר, למרות שהתחיל עם סכום נמוך יותר, בזכות הריבית הגבוהה יותר.
15. 8 — $40000\cdot1.02^7=40000\cdot1.148686\approx45{,}947.4$ ₪ — עדיין פחות מ-$46{,}000$. $40000\cdot1.02^8=40000\cdot1.171659\approx46{,}866.4$ ₪ — עובר את היעד. לכן $t=8$.
16. x + 10 — $4x + 4 - 3x + 6 = x + 10$.
17. $x = -4$ — נעביר את 11 לאגף ימין: $2x = 3 - 11 = -8$. נחלק ב-$2: x = -\frac{8}{2} = -4$.
18. $x = 3$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-6, c=9$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (9) = 0$, ו-$\sqrt{0} = 0. x = \frac{6 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 3$ (פתרון כפול).
19. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $7x - 3x = 11 - (-1)$, כלומר $4x = 12$. לכן $x = \frac{12}{4} = 3$.
20. שליש — קצב העבודה $= \frac{1}{6}$ לשעה. ב-2 שעות: $2 \cdot (\frac{1}{6}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
21. 24 ש"ח — מחיר בקבוק $= \frac{15}{5} = 3$ ש"ח. עבור 8 בקבוקים: $8 \cdot 3 = 24$ ש"ח.
22. $x > 3$ — מבודדים את $x$ על ידי הוספת $3$ לשני אגפי אי-השוויון: $x - 3 + 3 > 0 + 3$, ומקבלים $x > 3$. סימן אי-השוויון נשמר כי לא כפלנו ולא חילקנו במספר שלילי.
23. $x = 8$ — $2x - 1 = 15 → 2x = 16 → x = 8$.
24. $x = 4$ — נעביר את 7 לאגף ימין: $10x = 47 - 7 = 40$. נחלק ב-$10: x = \frac{40}{10} = 4$.
25. 2x(x + 2) — גורם משותף 2x: 2x(x + 2).
26. 60 ש"ח — ההנחה $= 25%$ מ-$80 = 20$ ש"ח. המחיר $= 80 - 20 = 60$ ש"ח.
27. $x = 4$ או $x = 7$ — $a=1, b=-11, c=28$. דיסקרימיננטה $= (-11)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (28) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{11 \pm 3}{2}$, ולכן $x = 4$ או $x = 7$.
28. $x = 5$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $4x - 6x = -2 - (8)$, כלומר -$2x = -10$. לכן $x = -10/-2 = 5$.
29. 15 דקות — זמן $= \frac{300}{20} = 15$ דקות.
30. (x - 4)(x + 2) — מכפלה -8 וסכום -2: -4 ו-2.
31. $x = 3, y = 4$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 4$. בדיקה: $1 \cdot 3 + (1) \cdot 4 = 7$, וכן $2 \cdot 3 + (1) \cdot 4 = 10$.
32. $x = 12$ — $\frac{x}{4} = 3 → x = 12$.
33. $x = -\frac{1}{3}$ או $x = 1$ — $a=3, b=-2, c=-1$. דיסקרימיננטה $= (-2)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16, \sqrt{16} = 4. x = \frac{2 \pm 4}{6}$, ולכן $x = -\frac{1}{3}$ או $x = 1$.
34. $x = 1$ או $x = 8$ — $a=1, b=-9, c=8$. דיסקרימיננטה $= (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (8) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{9 \pm 7}{2}$, ולכן $x = 1$ או $x = 8$.
35. 7 — צריך למצוא את $t$ הקטן ביותר עבורו $15000\cdot1.04^t\ge19000$. עבור $t=6$: $15000\cdot1.04^6=15000\cdot1.265319\approx18{,}979.8$ ₪ — עדיין פחות מ-$19{,}000$. עבור $t=7$: $15000\cdot1.04^7=15000\cdot1.315932\approx19{,}738.98$ ₪ — עובר את היעד. לכן התשובה היא $t=7$.