אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x = -6$ או $x = 2$ — $a=1, b=4, c=-12$. דיסקרימיננטה $= (4)^{2} - 4 \cdot (-12) = 64, \sqrt{64} = 8. x = \frac{-4 \pm 8}{2}$, ולכן $x = -6$ או $x = 2$.
2. $x \ge 4$ — מחסרים $6$ משני אגפי אי-השוויון: $x + 6 - 6 \ge 10 - 6$, ומקבלים $x \ge 4$. פעולת חיסור אינה משנה את כיוון אי-השוויון, לכן הפתרון הוא כל $x$ גדול או שווה ל-$4$.
3. פתרון יחיד (כפול) — דיסקרימיננטה $= 36 - 36 = 0$, לכן יש פתרון יחיד: $x = 3$. אכן $x^{2}-6x+9 = (x-3)^{2}$.
4. $x = 2$ או $x = 8$ — $a=1, b=-10, c=16$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot (16) = 36, \sqrt{36} = 6. x = \frac{10 \pm 6}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 8$.
5. $x > 3$ — מבודדים את $x$ על ידי הוספת $3$ לשני אגפי אי-השוויון: $x - 3 + 3 > 0 + 3$, ומקבלים $x > 3$. סימן אי-השוויון נשמר כי לא כפלנו ולא חילקנו במספר שלילי.
6. $x \le 5$ — מחלקים את שני האגפים ב-$2$ (מספר חיובי — סימן אי-השוויון נשאר): $\frac{2x}{2} \le \frac{10}{2}$, ומקבלים $x \le 5$.
7. $x = -4$ או $x = 2$ — $a=1, b=2, c=-8$. דיסקרימיננטה $= (2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36$, ו-$\sqrt{36} = 6. x = \frac{-2 \pm 6}{2}$, ולכן $x = -4$ או $x = 2$.
8. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $8x - 3x = 11 - (-4)$, כלומר $5x = 15$. לכן $x = \frac{15}{5} = 3$.
9. ירידה של 4% בשנה (q=0.96) — $q^2=\dfrac{138{,}240}{150{,}000}=0.9216$, ולכן $q=\sqrt{0.9216}=0.96$ — ירידה שנתית של $4\%$. הטעות $7.84\%$ מתקבלת מהתייחסות לירידה הכוללת של שתי השנים כאל ירידה שנתית ישירה.
10. 60 — $\frac{x}{5} = 12 → x = 60$.
11. 5 — $East_t=4000\cdot1.07^t$, $West_t=7000\cdot0.94^t$. עבור $t=4$: $East_4\approx5{,}243.2$, $West_4\approx5{,}465.2$ — עדיין $East<West$. עבור $t=5$: $East_5=4000\cdot1.402552\approx5{,}610.2$, $West_5=7000\cdot0.733904\approx5{,}137.3$ — כעת $East>West$. לכן התשובה היא $t=5$.
12. $x = 2$ או $x = 9$ — $a=1, b=-11, c=18$. דיסקרימיננטה $= (-11)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (18) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{11 \pm 7}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 9$.
13. 5x - 3 — $6x - 3 - x = 5x - 3$.
14. 5a - b — $2a + 2b + 3a - 3b = 5a - b$.
15. 13,113 ₪ — $M=12{,}000\cdot 1.03^3=12{,}000\cdot 1.092727\approx 13{,}113$ ₪. 13,080 הוא חישוב ריבית פשוטה, 12,731 מתקבל מהעלאה בחזקת $2$ בלבד במקום $3$, ו-10,952 מקבלים בטעות עם $q=0.97$.
16. $x^{2} + 5x + 6$ — $x \cdot x + 3x + 2x + 6 = x^{2} + 5x + 6$.
17. 3 שעות — זמן $=$ מרחק $/$ מהירות $= \frac{240}{80} = 3$ שעות.
18. $x = 15$ — $2x = 30 → x = 15$.
19. $x = 7$ — $2x - 10 + 3 = x → 2x - 7 = x → x = 7$.
20. $x = 5$ — $2x + 6 = 16 → 2x = 10 → x = 5$.
21. $x = 1$ או $x = 8$ — $a=1, b=-9, c=8$. דיסקרימיננטה $= (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (8) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{9 \pm 7}{2}$, ולכן $x = 1$ או $x = 8$.
22. 3(x - 2)(x + 2) — הוצאת $3: 3(x^{2} - 4) = 3(x-2)(x+2)$.
23. (x + 2)(x + 3) — מחפשים שני מספרים שמכפלתם 6 וסכומם 5: 2 ו-3.
24. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $6x - 2x = 17 - (5)$, כלומר $4x = 12$. לכן $x = \frac{12}{4} = 3$.
25. $x = 4$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $7x - 4x = 18 - (6)$, כלומר $3x = 12$. לכן $x = \frac{12}{3} = 4$.
26. 18 ו-12 — $x + y = 30, x - y = 6$. נחבר: $2x = 36, x = 18$, ואז $y = 12$.
27. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $2 \cdot 3 + (1) \cdot 2 = 8$, וכן $1 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 = 1$.
28. $x \le -3$ — מחלקים ב-(-3) והופכים סימן: $x \le -3$.
29. $x = 8$ — $\frac{x}{2} = 4 → x = 8$.
30. $x = 7$ — נעביר את 0 לאגף ימין: $5x = 35 - 0 = 35$. נחלק ב-$5: x = \frac{35}{5} = 7$.
31. 6 שעות — קצב משותף $= \frac{1}{4}$. קצב הראשון $= \frac{1}{12}$. קצב השני $= \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$, ולכן 6 שעות.
32. $15$ ו-$5$ — נסמן את המספרים $x$ ו-$y$ כך ש-$x > y$. מהתנאים: $x + y = 20$ ו-$x = 3y$. נציב את השנייה בראשונה: $3y + y = 20 \Rightarrow 4y = 20 \Rightarrow y = 5$. לכן $x = 3 \cdot 5 = 15$. אכן $15 + 5 = 20$ ו-$15 = 3 \cdot 5$.
33. 49,680 ₪ — אחרי הירידה: $50000\cdot0.92=46{,}000$ ₪. אחרי העלייה: $46000\cdot1.08=49{,}680$ ₪. שימו לב שהסכום הסופי נמוך מהסכום ההתחלתי, למרות שאחוז הירידה ואחוז העלייה זהים — משום שהעלייה מחושבת על בסיס קטן יותר (הגורם הכולל $0.92\cdot1.08=0.9936<1$).
34. עלייה של 3% בשנה (q=1.03) — $q^3=\dfrac{1{,}092{,}727}{1{,}000{,}000}=1.092727$, ולכן $q=\sqrt[3]{1.092727}=1.03$ — עלייה שנתית של $3\%$. הטעות $9.27\%$ מתקבלת כשמשווים את השינוי הכולל לתקופה של $3$ שנים לגידול של שנה אחת, במקום להוציא שורש מסדר $3$.
35. אפשרות א' עדיפה בכ-400 ₪ — אפשרות א': $10000\cdot1.06^5=10000\cdot1.338226\approx13{,}382.3$ ₪. אפשרות ב': קודם שנתיים ב-$9\%$: $10000\cdot1.09^2=11{,}881$ ₪, ואז שלוש שנים ב-$3\%$: $11881\cdot1.03^3\approx11881\cdot1.092727\approx12{,}982.7$ ₪. ההפרש: $13{,}382.3-12{,}982.7\approx400$ ₪ לטובת אפשרות א'.