אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x = 1$ או $x = 8$ — $a=1, b=-9, c=8$. דיסקרימיננטה $= (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (8) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{9 \pm 7}{2}$, ולכן $x = 1$ או $x = 8$.
2. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $3x - 8x = -5 - (10)$, כלומר -$5x = -15$. לכן $x = -15/-5 = 3$.
3. 6 — $25000\cdot1.03^5=25000\cdot1.159274\approx28{,}981.9$ ₪ — עדיין פחות מ-$29{,}000$ (בהפרש קטן!). $25000\cdot1.03^6=25000\cdot1.194052\approx29{,}851.3$ ₪ — עובר את היעד. לכן $t=6$.
4. $x = 5$ — $2x + 6 = 16 → 2x = 10 → x = 5$.
5. x(x + 2) — גורם משותף x: x(x + 2).
6. $x = 4$ — $6x + 12 = 4x + 20 → 2x = 8 → x = 4$.
7. 42 ש"ח — מחיר לק"ג $= \frac{24}{4} = 6$ ש"ח. עבור 7 ק"ג: $7 \cdot 6 = 42$ ש"ח.
8. ירידה של 4% בשנה (q=0.96) — $q^2=\dfrac{138{,}240}{150{,}000}=0.9216$, ולכן $q=\sqrt{0.9216}=0.96$ — ירידה שנתית של $4\%$. הטעות $7.84\%$ מתקבלת מהתייחסות לירידה הכוללת של שתי השנים כאל ירידה שנתית ישירה.
9. $x = 2$ או $x = 9$ — $a=1, b=-11, c=18$. דיסקרימיננטה $= (-11)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (18) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{11 \pm 7}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 9$.
10. $x = 15$ — $2x = 30 → x = 15$.
11. 7 שנים — $14 + t = 21 → t = 7$ שנים.
12. $x = 4, y = 4$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 4, y = 4$. בדיקה: $1 \cdot 4 + (1) \cdot 4 = 8$, וכן $4 \cdot 4 + (-1) \cdot 4 = 12$.
13. 10% בשנה — גורם השינוי הכולל הוא $1+0.21=1.21$. אם $q$ הוא גורם השינוי השנתי, אז $q^2=1.21$, ומכאן $q=1.1$, כלומר עלייה של $10\%$ בשנה. בדיקה: $1.1^2=1.21$, בדיוק עלייה כוללת של $21\%$.
14. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $8x - 3x = 11 - (-4)$, כלומר $5x = 15$. לכן $x = \frac{15}{5} = 3$.
15. אפשרות א' עדיפה בכ-400 ₪ — אפשרות א': $10000\cdot1.06^5=10000\cdot1.338226\approx13{,}382.3$ ₪. אפשרות ב': קודם שנתיים ב-$9\%$: $10000\cdot1.09^2=11{,}881$ ₪, ואז שלוש שנים ב-$3\%$: $11881\cdot1.03^3\approx11881\cdot1.092727\approx12{,}982.7$ ₪. ההפרש: $13{,}382.3-12{,}982.7\approx400$ ₪ לטובת אפשרות א'.
16. $x = 3$ — נעביר את 2 לאגף ימין: $9x = 29 - 2 = 27$. נחלק ב-$9: x = \frac{27}{9} = 3$.
17. (x - 7)(x + 7) — הפרש ריבועים: (x-7)(x+7).
18. $x = 7$ — נעביר את -5 לאגף ימין: $2x = 9 + 5 = 14$. נחלק ב-$2: x = \frac{14}{2} = 7$.
19. 2x — $8\frac{x}{4} = 2x$.
20. $x = -6$ או $x = 2$ — $a=1, b=4, c=-12$. דיסקרימיננטה $= (4)^{2} - 4 \cdot (-12) = 64, \sqrt{64} = 8. x = \frac{-4 \pm 8}{2}$, ולכן $x = -6$ או $x = 2$.
21. $x = 3$ או $x = 6$ — $a=1, b=-9, c=18$. דיסקרימיננטה $= (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (18) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{9 \pm 3}{2}$, ולכן $x = 3$ או $x = 6$.
22. 101,568 ₪ — $q=1-0.08=0.92$, ולכן $M=120{,}000\cdot 0.92^2=120{,}000\cdot 0.8464=101{,}568$ ₪. 100,800 מתקבל מפחת ליניארי (פשוט), ו-139,968 מתקבל בטעות עם $q=1.08$ (כיוון הפוך).
23. $x^{2} + 3x - 10$ — $x^{2} + 5x - 2x - 10 = x^{2} + 3x - 10$.
24. $x = -4$ — נעביר את 11 לאגף ימין: $2x = 3 - 11 = -8$. נחלק ב-$2: x = -\frac{8}{2} = -4$.
25. 4(x + 2) — גורם משותף 4: 4(x + 2).
26. 7,220 — כאן $q=1-0.05=0.95$, ולכן $M=8{,}000\cdot 0.95^2=8{,}000\cdot 0.9025=7{,}220$. 7,200 מתקבל מחישוב ירידה ליניארית (פשוטה) במקום דריבית, ו-8,820 מתקבל מהצבת $q=1.05$ בטעות (כיוון הפוך).
27. 4 ימים — סך העבודה $= 3 \cdot 8 = 24$ ימי-פועל. עם 6 פועלים: $\frac{24}{6} = 4$ ימים. (יחס הפוך.)
28. $x = -3$ או $x = 1$ — $a=1, b=2, c=-3$. דיסקרימיננטה $= (2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16$, ו-$\sqrt{16} = 4. x = \frac{-2 \pm 4}{2}$, ולכן $x = -3$ או $x = 1$.
29. 100,000 ₪ — גורם השינוי הכולל הוא $0.95^2\cdot1.02=0.9025\cdot1.02=0.92055$. לכן $M_0\cdot0.92055=92055$, ומכאן $M_0=92055/0.92055=100{,}000$ ₪.
30. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $1 \cdot 3 + (1) \cdot 2 = 5$, וכן $1 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 = 1$.
31. $x = \frac{1}{3}$ או $x = 3$ — $a=3, b=-10, c=3$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (3) = 64, \sqrt{64} = 8. x = \frac{10 \pm 8}{6}$, ולכן $x = \frac{1}{3}$ או $x = 3$.
32. $x \le -3$ — מחלקים ב-(-3) והופכים סימן: $x \le -3$.
33. $x = 4, y = 1$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 4, y = 1$. בדיקה: $1 \cdot 4 + (-1) \cdot 1 = 3$, וכן $2 \cdot 4 + (1) \cdot 1 = 9$.
34. x > -5 — -x < 5 → x > -5 (היפוך סימן).
35. לא, ההפרש גדל משנה לשנה — זו סדרה הנדסית ולא סדרה חשבונית — האחוז השנתי קבוע ($4\%$), אך הוא מחושב על בסיס גדל בכל שנה, ולכן ההפרש בש"ח בין שנה לשנה הולך וגדל. זו התנהגות של סדרה הנדסית (יחס קבוע בין איברים עוקבים), בניגוד לסדרה חשבונית שבה ההפרש בין איברים עוקבים קבוע.