אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x = 5$ — $2x + 6 = 16 → 2x = 10 → x = 5$.
2. $x = -4$ — נעביר את 11 לאגף ימין: $2x = 3 - 11 = -8$. נחלק ב-$2: x = -\frac{8}{2} = -4$.
3. $x = -5$ או $x = -2$ — $a=1, b=7, c=10$. דיסקרימיננטה $= (7)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (10) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{-7 \pm 3}{2}$, ולכן $x = -5$ או $x = -2$.
4. 2x(x + 2) — גורם משותף 2x: 2x(x + 2).
5. 2 שעות — המרחק $= 60 \cdot 3 = 180$ ק"מ. זמן החזרה $= \frac{180}{90} = 2$ שעות.
6. 7 שנים — $14 + t = 21 → t = 7$ שנים.
7. $x^{2} + 3x - 10$ — $x^{2} + 5x - 2x - 10 = x^{2} + 3x - 10$.
8. $x \ge 4$ — $2x \ge 8 → x \ge 4$.
9. $x \ge 4$ — מחסרים $6$ משני אגפי אי-השוויון: $x + 6 - 6 \ge 10 - 6$, ומקבלים $x \ge 4$. פעולת חיסור אינה משנה את כיוון אי-השוויון, לכן הפתרון הוא כל $x$ גדול או שווה ל-$4$.
10. $x = 1$ או $x = 4$ — $a=1, b=-5, c=4$. דיסקרימיננטה $= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (4) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{5 \pm 3}{2}$, ולכן $x = 1$ או $x = 4$.
11. $x = 5$ — $6x + 3 = 5x + 8 → x = 5$.
12. 49,680 ₪ — אחרי הירידה: $50000\cdot0.92=46{,}000$ ₪. אחרי העלייה: $46000\cdot1.08=49{,}680$ ₪. שימו לב שהסכום הסופי נמוך מהסכום ההתחלתי, למרות שאחוז הירידה ואחוז העלייה זהים — משום שהעלייה מחושבת על בסיס קטן יותר (הגורם הכולל $0.92\cdot1.08=0.9936<1$).
13. 5a - b — $2a + 2b + 3a - 3b = 5a - b$.
14. ירידה של 4% בשנה (q=0.96) — $q^2=\dfrac{138{,}240}{150{,}000}=0.9216$, ולכן $q=\sqrt{0.9216}=0.96$ — ירידה שנתית של $4\%$. הטעות $7.84\%$ מתקבלת מהתייחסות לירידה הכוללת של שתי השנים כאל ירידה שנתית ישירה.
15. $x \le 5$ — כדי לבודד את $x$, מחלקים את שני אגפי אי-השוויון ב-$5$ (מספר חיובי, ולכן סימן אי-השוויון נשמר): $\frac{5x}{5} \le \frac{25}{5}$, ומקבלים $x \le 5$.
16. $x = -1$ או $x = 6$ — $a=1, b=-5, c=-6$. דיסקרימיננטה $= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{5 \pm 7}{2}$, ולכן $x = -1$ או $x = 6$.
17. $x = 4, y = 1$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 4, y = 1$. בדיקה: $1 \cdot 4 + (-1) \cdot 1 = 3$, וכן $2 \cdot 4 + (1) \cdot 1 = 9$.
18. 71,461 ₪ — $M=60{,}000\cdot 1.06^3=60{,}000\cdot 1.191016\approx 71{,}461$ ₪. 70,800 הוא חישוב ריבית פשוטה, 67,416 מתקבל מהעלאה בחזקת $2$ בלבד, ו-49,835 מתקבל בטעות עם $q=0.94$.
19. $x = 15$ — $2x = 30 → x = 15$.
20. ירידה של 7% בכל שנה ביחס לערך של השנה הקודמת — $q=1-r$ כאשר $r$ הוא אחוז הירידה. $q=0.93=1-0.07$, כלומר בכל שנה נשארים $93\%$ מהערך של השנה הקודמת — ירידה של $7\%$ ביחס לשנה שקדמה, ולא ביחס לערך ההתחלתי.
21. $\frac{x}{2}$ — מכנה משותף $6: \frac{2x + x}{6} = 3\frac{x}{6} = \frac{x}{2}$.
22. $x = 8$ — נעביר את 6 לאגף ימין: $4x = 38 - 6 = 32$. נחלק ב-$4: x = \frac{32}{4} = 8$.
23. $x = 4$ — נעביר את 4 לאגף ימין: $6x = 28 - 4 = 24$. נחלק ב-$6: x = \frac{24}{6} = 4$.
24. 220 ש"ח — הטיפ $= 10%$ מ-$200 = 20$ ש"ח. סך הכל $= 200 + 20 = 220$ ש"ח.
25. 14 — $x = 2 \cdot 5 + 4 = 14$.
26. $x = 2$ או $x = 9$ — $a=1, b=-11, c=18$. דיסקרימיננטה $= (-11)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (18) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{11 \pm 7}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 9$.
27. x > 4 — 2x > 8 → x > 4.
28. 20 — $x + (x+1) = 41 → 2x + 1 = 41 → x = 20. (20$ ו-21.)
29. $6x^{2} - 10x$ — $2x \cdot 3x - 2x \cdot 5 = 6x^{2} - 10x$.
30. $x = 4, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 4, y = 2$. בדיקה: $3 \cdot 4 + (2) \cdot 2 = 16$, וכן $1 \cdot 4 + (-1) \cdot 2 = 2$.
31. x < 4 — נחסר 5: x < 4.
32. 10% בשנה — גורם השינוי הכולל הוא $1+0.21=1.21$. אם $q$ הוא גורם השינוי השנתי, אז $q^2=1.21$, ומכאן $q=1.1$, כלומר עלייה של $10\%$ בשנה. בדיקה: $1.1^2=1.21$, בדיוק עלייה כוללת של $21\%$.
33. (x - 2)(x - 3) — מכפלה 6 וסכום -5: -2 ו-3-.
34. 3 שעות — הרכבים מתקרבים, לכן המהירות היחסית $= 60 + 40 = 100$ קמ"ש. זמן המפגש $= \frac{300}{100} = 3$ שעות.
35. $x \le -3$ — מחלקים ב-(-3) והופכים סימן: $x \le -3$.