אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x^{2} - 16$ — הפרש ריבועים: $x^{2} - 16$.
2. x + 2 — מוציאים 3 במונה: $3\frac{x+2}{3} = x+2$.
3. 3 שעות — זמן $=$ מרחק $/$ מהירות $= \frac{240}{80} = 3$ שעות.
4. $(x - 5)^{2}$ — ריבוע שלם: $x^{2} - 2 \cdot 5 \cdot x + 25 = (x-5)^{2}$.
5. 42 ש"ח — מחיר לק"ג $= \frac{24}{4} = 6$ ש"ח. עבור 7 ק"ג: $7 \cdot 6 = 42$ ש"ח.
6. ירידה של 4% בשנה (q=0.96) — $q^2=\dfrac{138{,}240}{150{,}000}=0.9216$, ולכן $q=\sqrt{0.9216}=0.96$ — ירידה שנתית של $4\%$. הטעות $7.84\%$ מתקבלת מהתייחסות לירידה הכוללת של שתי השנים כאל ירידה שנתית ישירה.
7. $2x^{2} - 5x - 3$ — $2x^{2} - 6x + x - 3 = 2x^{2} - 5x - 3$.
8. $x \le -3$ — מחלקים ב-(-3) והופכים סימן: $x \le -3$.
9. (x - 2)(x - 3) — מכפלה 6 וסכום -5: -2 ו-3-.
10. (x - 3)(x + 3) — הפרש ריבועים: $x^{2} - 3^{2} = (x-3)(x+3)$.
11. חיסכון C גדול מחיסכון D בכ-544 ₪ — $C_8=6000\cdot1.1^8=6000\cdot2.143589\approx12{,}861.5$ ₪. $D_8=9000\cdot1.04^8=9000\cdot1.368569\approx12{,}317.1$ ₪. ההפרש: $12{,}861.5-12{,}317.1\approx544$ ₪, כך שחיסכון C גדול יותר, למרות שהתחיל עם סכום נמוך יותר, בזכות הריבית הגבוהה יותר.
12. $x = \frac{1}{2}$ או $x = 3$ — $a=2, b=-7, c=3$. דיסקרימיננטה $= (-7)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (3) = 25, \sqrt{25} = 5. x = \frac{7 \pm 5}{4}$, ולכן $x = \frac{1}{2}$ או $x = 3$.
13. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $5x - 2x = 12 - (3)$, כלומר $3x = 9$. לכן $x = \frac{9}{3} = 3$.
14. $x \ge 3$ — $-2x \le -6 → x \ge 3 ($היפוך סימן).
15. $x = 8$ — $-\frac{x}{2} = -4 → x = 8$.
16. $x = -2$ או $x = 8$ — $a=1, b=-6, c=-16$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot (-16) = 100, \sqrt{100} = 10. x = \frac{6 \pm 10}{2}$, ולכן $x = -2$ או $x = 8$.
17. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $5 \cdot 3 + (2) \cdot 2 = 19$, וכן $3 \cdot 3 + (-2) \cdot 2 = 5$.
18. $x = 7$ — $3x - 12 = 9 → 3x = 21 → x = 7$.
19. $x = 1$ או $x = 8$ — $a=1, b=-9, c=8$. דיסקרימיננטה $= (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (8) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{9 \pm 7}{2}$, ולכן $x = 1$ או $x = 8$.
20. שליש — קצב העבודה $= \frac{1}{6}$ לשעה. ב-2 שעות: $2 \cdot (\frac{1}{6}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
21. $x = 8$ — $\frac{x}{2} = 4 → x = 8$.
22. 18 ו-12 — $x + y = 30, x - y = 6$. נחבר: $2x = 36, x = 18$, ואז $y = 12$.
23. $x = 2$ או $x = 8$ — $a=1, b=-10, c=16$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot (16) = 36, \sqrt{36} = 6. x = \frac{10 \pm 6}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 8$.
24. אף פתרון — $x^{2} = -4$, אך אין מספר ממשי שריבועו שלילי. דיסקרימיננטה $= 0 - 16 = -16 < 0$, לכן אין פתרון.
25. 6 שעות — קצב משותף $= \frac{1}{4}$. קצב הראשון $= \frac{1}{12}$. קצב השני $= \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$, ולכן 6 שעות.
26. $x = -5$ או $x = 1$ — $a=1, b=4, c=-5$. דיסקרימיננטה $= (4)^{2} - 4 \cdot (-5) = 36, \sqrt{36} = 6. x = \frac{-4 \pm 6}{2}$, ולכן $x = -5$ או $x = 1$.
27. 49,680 ₪ — אחרי הירידה: $50000\cdot0.92=46{,}000$ ₪. אחרי העלייה: $46000\cdot1.08=49{,}680$ ₪. שימו לב שהסכום הסופי נמוך מהסכום ההתחלתי, למרות שאחוז הירידה ואחוז העלייה זהים — משום שהעלייה מחושבת על בסיס קטן יותר (הגורם הכולל $0.92\cdot1.08=0.9936<1$).
28. -x + 5 — מינוס לפני סוגריים הופך סימנים: -x + 5.
29. $x = 4$ — $6x + 12 = 4x + 20 → 2x = 8 → x = 4$.
30. פתרון יחיד (כפול) — דיסקרימיננטה $= 36 - 36 = 0$, לכן יש פתרון יחיד: $x = 3$. אכן $x^{2}-6x+9 = (x-3)^{2}$.
31. גידול של 4% בכל שנה ביחס לערך של השנה הקודמת — $q=1+r$ כאשר $r$ הוא אחוז הגידול. $q=1.04$ אומר שבכל שנה הערך גדל ב-$4\%$ ביחס לערך של השנה הקודמת (ולא ביחס לערך ההתחלתי) — זהו המהות של גידול מעריכי (דריבית).
32. 220 ש"ח — הטיפ $= 10%$ מ-$200 = 20$ ש"ח. סך הכל $= 200 + 20 = 220$ ש"ח.
33. אפשרות א' עדיפה בכ-400 ₪ — אפשרות א': $10000\cdot1.06^5=10000\cdot1.338226\approx13{,}382.3$ ₪. אפשרות ב': קודם שנתיים ב-$9\%$: $10000\cdot1.09^2=11{,}881$ ₪, ואז שלוש שנים ב-$3\%$: $11881\cdot1.03^3\approx11881\cdot1.092727\approx12{,}982.7$ ₪. ההפרש: $13{,}382.3-12{,}982.7\approx400$ ₪ לטובת אפשרות א'.
34. $x \le 5$ — מחלקים את שני האגפים ב-$2$ (מספר חיובי — סימן אי-השוויון נשאר): $\frac{2x}{2} \le \frac{10}{2}$, ומקבלים $x \le 5$.
35. 5(2x - 3) — גורם משותף 5: 5(2x - 3).