אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. 60 ק"מ — מרחק $=$ מהירות $\cdot$ זמן $= 15 \cdot 4 = 60$ ק"מ.
2. $\frac{x}{2}$ — מכנה משותף $6: \frac{2x + x}{6} = 3\frac{x}{6} = \frac{x}{2}$.
3. 8 ש"ח — נסמן עט x ומחברת x+6. אז $x + (x+6) = 22 → 2x = 16 → x = 8$ ש"ח.
4. $x = 5$ — $8x - 4 = 3x + 21 → 5x = 25 → x = 5$.
5. $x = -4$ או $x = 2$ — $a=1, b=2, c=-8$. דיסקרימיננטה $= (2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36$, ו-$\sqrt{36} = 6. x = \frac{-2 \pm 6}{2}$, ולכן $x = -4$ או $x = 2$.
6. 20 — נסמן רון x, דן x+5. אז $x + (x+5) = 35 → 2x = 30 → x = 15$, ודן $x+5 = 20$.
7. $x = 2$ או $x = 7$ — $a=1, b=-9, c=14$. דיסקרימיננטה $= (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (14) = 25$, ו-$\sqrt{25} = 5. x = \frac{9 \pm 5}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 7$.
8. 2x(x + 2) — גורם משותף 2x: 2x(x + 2).
9. 2 שעות — המרחק $= 60 \cdot 3 = 180$ ק"מ. זמן החזרה $= \frac{180}{90} = 2$ שעות.
10. 24 ש"ח — מחיר בקבוק $= \frac{15}{5} = 3$ ש"ח. עבור 8 בקבוקים: $8 \cdot 3 = 24$ ש"ח.
11. 8 — $40000\cdot1.02^7=40000\cdot1.148686\approx45{,}947.4$ ₪ — עדיין פחות מ-$46{,}000$. $40000\cdot1.02^8=40000\cdot1.171659\approx46{,}866.4$ ₪ — עובר את היעד. לכן $t=8$.
12. 10 ש"ח — $2 \cdot 30 + g = 70 → 60 + g = 70 → g = 10$ ש"ח.
13. $x = 4$ או $x = 7$ — $a=1, b=-11, c=28$. דיסקרימיננטה $= (-11)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (28) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{11 \pm 3}{2}$, ולכן $x = 4$ או $x = 7$.
14. 5 חודשים — $350 + 50t = 600 → 50t = 250 → t = 5$.
15. $x = 3, y = 4$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 4$. בדיקה: $2 \cdot 3 + (3) \cdot 4 = 18$, וכן $1 \cdot 3 + (-1) \cdot 4 = -1$.
16. 6 ס"מ — היקף $= 2($אורך+רוחב$) = 30$, אז אורך+רוחב $= 15$. אורך $=$ רוחב+3. רוחב + רוחב $+ 3 = 15 → 2 \cdot$רוחב $= 12 →$ רוחב $= 6$.
17. $x = 8$ — נחסר 12 משני האגפים: $x = 20 - 12 = 8$.
18. 8 — $2x + 7 = 23 → 2x = 16 → x = 8$.
19. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $6x - 2x = 17 - (5)$, כלומר $4x = 12$. לכן $x = \frac{12}{4} = 3$.
20. גידול של 4% בכל שנה ביחס לערך של השנה הקודמת — $q=1+r$ כאשר $r$ הוא אחוז הגידול. $q=1.04$ אומר שבכל שנה הערך גדל ב-$4\%$ ביחס לערך של השנה הקודמת (ולא ביחס לערך ההתחלתי) — זהו המהות של גידול מעריכי (דריבית).
21. $x = 4$ — $6x + 12 = 4x + 20 → 2x = 8 → x = 4$.
22. $x = 7$ — $2x - 10 + 3 = x → 2x - 7 = x → x = 7$.
23. 8 ו-4 — נסמן $x+y=12, x-y=4$. נחבר את המשוואות: $2x = 16, x = 8$, ואז $y = 4$.
24. 13,113 ₪ — $M=12{,}000\cdot 1.03^3=12{,}000\cdot 1.092727\approx 13{,}113$ ₪. 13,080 הוא חישוב ריבית פשוטה, 12,731 מתקבל מהעלאה בחזקת $2$ בלבד במקום $3$, ו-10,952 מקבלים בטעות עם $q=0.97$.
25. שליש — קצב העבודה $= \frac{1}{6}$ לשעה. ב-2 שעות: $2 \cdot (\frac{1}{6}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
26. $x = 5$ או $x = -5$ — $x^{2} = 25$, ולכן $x = \pm 5. ($אפשר גם לפרק: $(x-5)(x+5)=0.)$
27. $x = 3$ — נעביר את 2 לאגף ימין: $9x = 29 - 2 = 27$. נחלק ב-$9: x = \frac{27}{9} = 3$.
28. $x^{2} - 1$ — הפרש ריבועים: $x^{2} - 1$.
29. $x = -2$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $5x - 2x = 3 - (9)$, כלומר $3x = -6$. לכן $x = -\frac{6}{3} = -2$.
30. -x + 5 — מינוס לפני סוגריים הופך סימנים: -x + 5.
31. 3x — $6\frac{x}{2} = 3x$.
32. $x^{2} - 16$ — הפרש ריבועים: $x^{2} - 16$.
33. $x = 1$ או $x = 5$ — $a=1, b=-6, c=5$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot (5) = 16, \sqrt{16} = 4. x = \frac{6 \pm 4}{2}$, ולכן $x = 1$ או $x = 5$.
34. 8 ש"ח — נסמן מחיר מחברת $m: 3m + 5 = 29 → 3m = 24 → m = 8$ ש"ח.
35. 10 — $x + (x+1) + (x+2) = 33 → 3x + 3 = 33 → x = 10. (10, 11, 12.)$