אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x = 4$ — נעביר את 7 לאגף ימין: $10x = 47 - 7 = 40$. נחלק ב-$10: x = \frac{40}{10} = 4$.
2. חיסכון C גדול מחיסכון D בכ-544 ₪ — $C_8=6000\cdot1.1^8=6000\cdot2.143589\approx12{,}861.5$ ₪. $D_8=9000\cdot1.04^8=9000\cdot1.368569\approx12{,}317.1$ ₪. ההפרש: $12{,}861.5-12{,}317.1\approx544$ ₪, כך שחיסכון C גדול יותר, למרות שהתחיל עם סכום נמוך יותר, בזכות הריבית הגבוהה יותר.
3. 8 — $2x + 7 = 23 → 2x = 16 → x = 8$.
4. $x = 2$ או $x = 3$ — $a=1, b=-5, c=6$. דיסקרימיננטה $= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (6) = 1$, ו-$\sqrt{1} = 1. x = \frac{5 \pm 1}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 3$.
5. 220 ש"ח — הטיפ $= 10%$ מ-$200 = 20$ ש"ח. סך הכל $= 200 + 20 = 220$ ש"ח.
6. $4x^{2} - 9$ — הפרש ריבועים: $(2x)^{2} - 3^{2} = 4x^{2} - 9$.
7. 10% בשנה — אם שיעור הירידה השנתי הוא $r$, אז גורם השינוי השנתי הוא $q=1-r$, וגורם השינוי הכולל לאחר שנתיים הוא $q^2$. נתון $q^2=1-0.19=0.81$, ומכאן $q=0.9$, כלומר ירידה של $10\%$ בשנה. בדיקה: $0.9^2=0.81$, שזה בדיוק ירידה כוללת של $19\%$.
8. 14 — $x = 2 \cdot 5 + 4 = 14$.
9. (x - 4)(x + 3) — מכפלה -12 וסכום -1: -4 ו-3.
10. 44,100 ₪ — $M=40{,}000\cdot 1.05^2=40{,}000\cdot 1.1025=44{,}100$ ₪. הערך 44,000 מתקבל מחישוב ריבית פשוטה, ו-36,100 מתקבל מהצבת $q=0.95$ בטעות (כיוון הפוך).
11. $x = -3$ או $x = \frac{1}{2}$ — $a=2, b=5, c=-3$. דיסקרימיננטה $= (5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 49, \sqrt{49} = 7. x = \frac{-5 \pm 7}{4}$, ולכן $x = -3$ או $x = \frac{1}{2}$.
12. $x^{2} + 5x + 6$ — $x \cdot x + 3x + 2x + 6 = x^{2} + 5x + 6$.
13. 5 חודשים — $350 + 50t = 600 → 50t = 250 → t = 5$.
14. (x + 3)(x - 2) — מכפלה -6 וסכום 1: 3 ו-2-.
15. 6 — $25000\cdot1.03^5=25000\cdot1.159274\approx28{,}981.9$ ₪ — עדיין פחות מ-$29{,}000$ (בהפרש קטן!). $25000\cdot1.03^6=25000\cdot1.194052\approx29{,}851.3$ ₪ — עובר את היעד. לכן $t=6$.
16. 18 — בנים $= 40%$ מ-$30 = 12$. בנות $= 30 - 12 = 18. ($או 60% מ-$30 = 18.)$
17. $x = -4$ — נעביר את 11 לאגף ימין: $2x = 3 - 11 = -8$. נחלק ב-$2: x = -\frac{8}{2} = -4$.
18. x + 10 — $4x + 4 - 3x + 6 = x + 10$.
19. 18 ו-12 — $x + y = 30, x - y = 6$. נחבר: $2x = 36, x = 18$, ואז $y = 12$.
20. 20% בשנה — גורם השינוי הכולל הוא $1-0.36=0.64$. אם $q$ הוא גורם השינוי השנתי, אז $q^2=0.64$, ומכאן $q=0.8$, כלומר ירידה של $20\%$ בשנה. בדיקה: $0.8^2=0.64$, בדיוק ירידה כוללת של $36\%$.
21. $(x - 5)^{2}$ — ריבוע שלם: $x^{2} - 2 \cdot 5 \cdot x + 25 = (x-5)^{2}$.
22. $x = 4$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $7x - 4x = 18 - (6)$, כלומר $3x = 12$. לכן $x = \frac{12}{3} = 4$.
23. $x = 7$ — נעביר את -5 לאגף ימין: $2x = 9 + 5 = 14$. נחלק ב-$2: x = \frac{14}{2} = 7$.
24. 8 — $40000\cdot1.02^7=40000\cdot1.148686\approx45{,}947.4$ ₪ — עדיין פחות מ-$46{,}000$. $40000\cdot1.02^8=40000\cdot1.171659\approx46{,}866.4$ ₪ — עובר את היעד. לכן $t=8$.
25. 6a — $7a - 3a + 2a = 6a$.
26. 3x + 8 — $5x - 2x + 8 = 3x + 8$.
27. (x - 2)(x - 3) — מכפלה 6 וסכום -5: -2 ו-3-.
28. 5(2x - 3) — גורם משותף 5: 5(2x - 3).
29. $x = 2$ או $x = 8$ — $a=1, b=-10, c=16$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot (16) = 36, \sqrt{36} = 6. x = \frac{10 \pm 6}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 8$.
30. 90 קמ"ש — מהירות $=$ מרחק $/$ זמן $= \frac{360}{4} = 90$ קמ"ש.
31. אפשרות א' עדיפה בכ-400 ₪ — אפשרות א': $10000\cdot1.06^5=10000\cdot1.338226\approx13{,}382.3$ ₪. אפשרות ב': קודם שנתיים ב-$9\%$: $10000\cdot1.09^2=11{,}881$ ₪, ואז שלוש שנים ב-$3\%$: $11881\cdot1.03^3\approx11881\cdot1.092727\approx12{,}982.7$ ₪. ההפרש: $13{,}382.3-12{,}982.7\approx400$ ₪ לטובת אפשרות א'.
32. גידול של 4% בכל שנה ביחס לערך של השנה הקודמת — $q=1+r$ כאשר $r$ הוא אחוז הגידול. $q=1.04$ אומר שבכל שנה הערך גדל ב-$4\%$ ביחס לערך של השנה הקודמת (ולא ביחס לערך ההתחלתי) — זהו המהות של גידול מעריכי (דריבית).
33. 20 — נסמן רון x, דן x+5. אז $x + (x+5) = 35 → 2x = 30 → x = 15$, ודן $x+5 = 20$.
34. $x \ge 4$ — $2x \ge 8 → x \ge 4$.
35. $x \ge 4$ — מחסרים $6$ משני אגפי אי-השוויון: $x + 6 - 6 \ge 10 - 6$, ומקבלים $x \ge 4$. פעולת חיסור אינה משנה את כיוון אי-השוויון, לכן הפתרון הוא כל $x$ גדול או שווה ל-$4$.