אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x=-2$ — $2x = 0 - (4) = -4$, ולכן $x = \frac{-4}{2} = -2$.
2. $x=5$ — $4x = 26 - (6) = 20$, ולכן $x=\frac{20}{4}=5$.
3. $x=2$ — $2x = 2 - (-2) = 4$, ולכן $x=\frac{4}{2}=2$.
4. בקודקוד $(9,0)$, כאשר $Z=45$ — מציבים בכל קודקוד: $(0,0)\to0$; $(0,4)\to12$; $(5,6)\to5\cdot5+3\cdot6=25+18=43$; $(9,0)\to5\cdot9=45$. המקסימום, $45$, מתקבל בקודקוד $(9,0)$ — למרות ש-$(5,6)$ קרוב מאוד בערכו.
5. $25\%$ — $\frac{18}{72} \cdot 100\% = 25\%$.
6. $\\$1259.71$ — $K(1+p)^n = 1000 \cdot (1+0.08)^{3} = 1000 \cdot 1.259712 \approx 1259.71$.
7. $3$ שעות — קצב משותף: $\frac{1}{12}+\frac{1}{4}=\frac{1}{3}$ של העבודה לשעה, ולכן הזמן המשותף הוא $3$ שעות.
8. $\\$200$ — $234 = 1.17 \cdot x$, ולכן $x = \frac{234}{1.17} = 200$.
9. $\\$22500$ — דעיכה מעריכית: $K(1-p)^n = 40000 \cdot (1-0.25)^{2} = 40000\cdot0.5625 = 22500$.
10. $150$ ק"מ — מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 100 \cdot 1.5 = 150$ ק"מ.
11. $4x+9y \ge 180$, $300x+500y \le 12000$ וגם $y \le x$ — כמות מזערית להובלה: $4x+9y\ge180$. תקציב: $300x+500y\le12000$. יחס משאיות: $y\le x$ (גדולות לא יותר מקטנות).
12. $\\$1102.5$ — $K(1+p)^n = 1000 \cdot (1+0.05)^{2} = 1000 \cdot 1.1025 = 1102.5$.
13. $3630$ — גדילה מעריכית: $K(1+p)^n = 3000\cdot(1+0.1)^{2} = 3000\cdot1.21 = 3630$.
14. $90$ — $120\%\cdot75=1.2\cdot75=90$.
15. $\\$2704$ — $K(1+p)^n = 2500 \cdot (1+0.04)^{2} = 2500 \cdot 1.0816 = 2704$.
16. $(4,6)$ — עבור $(4,6)$: $5x+3y=38\le45$, $x+y=10\le11$, $x=4\ge2$ - כל האילוצים מתקיימים. עבור $(1,8)$: $x=1<2$. עבור $(7,5)$: $5x+3y=50>45$. עבור $(4,8)$: $x+y=12>11$.
17. $27$ — $60\% \cdot 45 = \frac{60}{100} \cdot 45 = 27$.
18. $x=-2$ — $4x = -5 - (3) = -8$, ולכן $x=\frac{-8}{4}=-2$.
19. $x=2$ — $7x = 11 - (-3) = 14$, ולכן $x=\frac{14}{7}=2$.
20. $2$ שעות — קצב משותף: $\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$ של העבודה לשעה, ולכן הזמן המשותף הוא $2$ שעות.
21. בקודקוד $(2,3)$, כאשר $Z=12$ — מציבים בכל קודקוד: $(2,3)\to3\cdot2+2\cdot3=6+6=12$; $(2,9)\to6+18=24$; $(7,6)\to21+12=33$; $(10,2)\to30+4=34$. העלות המינימלית, $12$, מתקבלת בקודקוד $(2,3)$.
22. $x=-1$ — $2x = 5 - (7) = -2$, ולכן $x = \frac{-2}{2} = -1$.
23. $x=4$ — $7x = 33 - (5) = 28$, ולכן $x=\frac{28}{7}=4$.
24. $\\$2160$ — בריבית פשוטה: $K + K \cdot p \cdot n = 2000 + 2000\cdot0.04\cdot2 = 2160$.
25. $30$ — $15\%\cdot200=0.15\cdot200=30$.
26. ב-$21\%$ — $1.1 \times 1.1 = 1.21$, כלומר עלייה כוללת של $21\%$.
27. $x=-5$ — $3x = -19 - (-4) = -15$, ולכן $x=\frac{-15}{3}=-5$.
28. $\\$1150$ — בריבית פשוטה: $K + K \cdot p \cdot n = 1000 + 1000\cdot0.05\cdot3 = 1150$.
29. $150$ — פגומים: $0.4 \cdot 250 = 100$. תקינים: $250 - 100 = 150$.
30. $20\%$ — $\frac{70}{350} \cdot 100\% = 20\%$.
31. $Z=7x+5y$ — הרווח הכולל הוא סכום הרווחים משני המוצרים: $7$ ₪ כפול מספר הגביעים ($x$) ועוד $5$ ₪ כפול מספר הקונוסים ($y$). לכן $Z=7x+5y$.
32. $x=3$ — $3x = 16 - (7) = 9$, ולכן $x = \frac{9}{3} = 3$.
33. $x=1$ — $5x = 2 - (-3) = 5$, ולכן $x=\frac{5}{5}=1$.
34. $20$ — $8\% \cdot 250 = \frac{8}{100} \cdot 250 = 20$.
35. $(8,6)$ — מהמשוואה הראשונה: $x=20-2y$. הצבה במשוואה השנייה: $3(20-2y)+y=30$, כלומר $60-6y+y=30$, ולכן $-5y=-30$, כלומר $y=6$. לכן $x=20-12=8$. הקודקוד הוא $(8,6)$.