אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x=-5$ — $3x = -19 - (-4) = -15$, ולכן $x=\frac{-15}{3}=-5$.
2. $(3,5)$ — עבור $(3,5)$: $x+y=8\le10$ ו-$2x+y=11\le16$ - שני האילוצים מתקיימים. עבור $(6,5)$: $x+y=11>10$. עבור $(8,2)$: $2x+y=18>16$. עבור $(-1,5)$: $x<0$ אינו מקיים $x\ge0$.
3. $x=-1$ — $2x = 3 - (5) = -2$, ולכן $x=\frac{-2}{2}=-1$.
4. $x=4,\ y=3$ — הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x=4,\ y=3$. הצבה: $3\cdot4+2\cdot3=18=18$ וגם $1\cdot4+1\cdot3=7=7$.
5. $6$ שעות — קצב משותף: $\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{1}{6}$ של העבודה לשעה, ולכן הזמן המשותף הוא $6$ שעות.
6. $45$ — $90\%\cdot50=0.9\cdot50=45$.
7. $(6,\ 3.5)$ — מהמשוואה השנייה: $x=13-2y$. הצבה במשוואה הראשונה: $7(13-2y)+4y=56$, כלומר $91-14y+4y=56$, ולכן $-10y=-35$, כלומר $y=3.5$. לכן $x=13-7=6$. הנקודה היא $(6,\ 3.5)$.
8. $(4,3)$ — הצבת $x=4$ במשוואה הראשונה: $3\cdot4+2y=18$, כלומר $12+2y=18$, ולכן $2y=6$ ו-$y=3$. הנקודה היא $(4,3)$.
9. $x=-2$ — $6x = -13 - (-1) = -12$, ולכן $x=\frac{-12}{6}=-2$.
10. $x=-1$ — $2x = 5 - (7) = -2$, ולכן $x = \frac{-2}{2} = -1$.
11. $4$ שעות — קצב משותף: $\frac{1}{20}+\frac{1}{5}=\frac{1}{4}$ של העבודה לשעה, ולכן הזמן המשותף הוא $4$ שעות.
12. $\\$4630.5$ — $K(1+p)^n = 4000 \cdot (1+0.05)^{3} = 4000 \cdot 1.157625 = 4630.5$.
13. $x=1$ — $4x = 0 - (-4) = 4$, ולכן $x=\frac{4}{4}=1$.
14. $x=3$ — $3x = 16 - (7) = 9$, ולכן $x = \frac{9}{3} = 3$.
15. $x=4$ — $5x = 23 - (3) = 20$, ולכן $x=\frac{20}{5}=4$.
16. $x=2$ — $3x = 5 - (-1) = 6$, ולכן $x=\frac{6}{3}=2$.
17. $x=5$ — $2x = 14 - (4) = 10$, ולכן $x=\frac{10}{2}=5$.
18. $x=2$ — $4x = 8 - (0) = 8$, ולכן $x=\frac{8}{4}=2$.
19. $(4,4)$ — עבור $(4,4)$: $3x+2y=20\le24$ ו-$x+2y=12\le16$ - שני האילוצים מתקיימים. עבור $(6,4)$: $3x+2y=26>24$. עבור $(2,8)$: $x+2y=18>16$. עבור $(0,9)$: $x+2y=18>16$.
20. $(6,4)$ — מחסרים את המשוואות: $(2x+y)-(x+y)=16-10$, כלומר $x=6$. הצבה במשוואה הראשונה: $6+y=10$, כלומר $y=4$. הנקודה היא $(6,4)$.
21. $x=1$ — $6x = 11 - (5) = 6$, ולכן $x = \frac{6}{6} = 1$.
22. $x=-2$ — $5x = -6 - (4) = -10$, ולכן $x=\frac{-10}{5}=-2$.
23. לא נכונה — משפט היסוד של תכנון ליניארי קובע שהמקסימום מתקבל דווקא בקודקוד — כאשר פונקציית המטרה ליניארית, ערכה בכל נקודה פנימית בתחום קמור נמוך או שווה לערכה בקודקוד הטוב ביותר — לעולם לא גבוה יותר. לכן הטענה של המנהל אינה נכונה: אין טעם לחפש פתרון אופטימלי בתוך התחום.
24. $x=-5$ — $4x = -23 - (-3) = -20$, ולכן $x=\frac{-20}{4}=-5$.
25. $15$ — נסמן את גיל הבן $x$; גיל האב $x+30$. אז $x+(x+30)=60$, $2x=30$, $x=15$.
26. $x=-3$ — $3x = -11 - (-2) = -9$, ולכן $x=\frac{-9}{3}=-3$.
27. $x=-2$ — $2x = -3 - (1) = -4$, ולכן $x=\frac{-4}{2}=-2$.
28. $x=-4$ — $6x = -27 - (-3) = -24$, ולכן $x=\frac{-24}{6}=-4$.
29. בקודקוד $(9,1)$, כאשר $Z=37$ — מציבים בכל קודקוד: $(1,1)\to4+1=5$; $(1,8)\to4+8=12$; $(6,10)\to24+10=34$; $(9,1)\to36+1=37$. המקסימום, $37$, מתקבל בקודקוד $(9,1)$, למרות ש-$y$ שם קטן — כי המקדם של $x$ גדול משמעותית.
30. $90$ — $120\%\cdot75=1.2\cdot75=90$.
31. ב-$21\%$ — $1.1 \times 1.1 = 1.21$, כלומר עלייה כוללת של $21\%$.
32. $20\%$ — השינוי הוא $|120-150| = 30$ מתוך הבסיס $150$: $\frac{30}{150} \cdot 100\% = 20\%$.
33. $45$ — $18\%\cdot250=0.18\cdot250=45$.
34. $x=1$ — $7x = 13 - (6) = 7$, ולכן $x=\frac{7}{7}=1$.
35. $16$ — $5\% \cdot 320 = \frac{5}{100} \cdot 320 = 16$.