אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $150$ ק"מ — מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 100 \cdot 1.5 = 150$ ק"מ.
2. $30\%$ — $\frac{27}{90} \cdot 100\% = 30\%$.
3. $4x+6y \le 180$ וגם $x \ge 2y$ — זמן: $4x+6y\le180$. היחס בין סוגי התרגילים ניתן ישירות בשאלה: $x\ge2y$ (מספר תרגילי א' לפחות כפול ממספר תרגילי ב').
4. $x=-2$ — $6x = -13 - (-1) = -12$, ולכן $x=\frac{-12}{6}=-2$.
5. $x=1$ — $6x = 4 - (-2) = 6$, ולכן $x=\frac{6}{6}=1$.
6. $3$ שעות — קצב משותף: $\frac{1}{12}+\frac{1}{4}=\frac{1}{3}$ של העבודה לשעה, ולכן הזמן המשותף הוא $3$ שעות.
7. $x=2$ — $3x = 5 - (-1) = 6$, ולכן $x=\frac{6}{3}=2$.
8. $Z=0.5x+0.8y$ — הרווח הכולל הוא סכום הרווחים משני המוצרים: $0.5$ ₪ עבור כל אחת מ-$x$ הלחמניות ועוד $0.8$ ₪ עבור כל אחד מ-$y$ הבורקסים. לכן $Z=0.5x+0.8y$.
9. $25\%$ — $\frac{9}{36} \cdot 100\% = 25\%$.
10. $25\%$ — השינוי הוא $|250-200| = 50$ מתוך הבסיס $200$: $\frac{50}{200} \cdot 100\% = 25\%$.
11. $x=-1$ — $5x = -3 - (2) = -5$, ולכן $x=\frac{-5}{5}=-1$.
12. $x=-2$ — $5x = -6 - (4) = -10$, ולכן $x=\frac{-10}{5}=-2$.
13. $x=-2$ — $6x = -6 - (6) = -12$, ולכן $x = \frac{-12}{6} = -2$.
14. $(4,6)$ — עבור $(4,6)$: $5x+3y=38\le45$, $x+y=10\le11$, $x=4\ge2$ - כל האילוצים מתקיימים. עבור $(1,8)$: $x=1<2$. עבור $(7,5)$: $5x+3y=50>45$. עבור $(4,8)$: $x+y=12>11$.
15. $\\$10$ — תפוחים: $4\cdot5=20$. נותרו $50-20=30$ עבור $3$ ק"ג אגסים: $\frac{30}{3}=10$.
16. $x=-5$ — $5x = -20 - (5) = -25$, ולכן $x=\frac{-25}{5}=-5$.
17. $17$ — נסמן את האמצעי $x$; אז $(x-1)+x+(x+1)=3x=51$, ולכן $x=17$.
18. $(6,4)$ — מחסרים את המשוואות: $(2x+y)-(x+y)=16-10$, כלומר $x=6$. הצבה במשוואה הראשונה: $6+y=10$, כלומר $y=4$. הנקודה היא $(6,4)$.
19. $(6,4)$ — עבור $(6,4)$: $2x+7y=40\le42$, $4x+y=28\le32$ - שני האילוצים מתקיימים. עבור $(8,2)$: $4x+y=34>32$. עבור $(3,7)$: $2x+7y=55>42$. עבור $(0,10)$: $2x+7y=70>42$.
20. בקודקוד $(6,5)$, כאשר $Z=32$ — מציבים בכל קודקוד: $(0,0)\to Z=0$; $(0,7)\to Z=28$; $(6,5)\to Z=2\cdot6+4\cdot5=12+20=32$; $(9,0)\to Z=18$. הערך הגדול ביותר, $32$, מתקבל בקודקוד $(6,5)$.
21. $x=1$ — $6x = 11 - (5) = 6$, ולכן $x = \frac{6}{6} = 1$.
22. $\\$3370.8$ — $K(1+p)^n = 3000 \cdot (1+0.06)^{2} = 3000 \cdot 1.1236 = 3370.8$.
23. $20$ — $25\% \cdot 80 = \frac{25}{100} \cdot 80 = 20$.
24. $20\%$ — השינוי הוא $|60-50| = 10$ מתוך הבסיס $50$: $\frac{10}{50} \cdot 100\% = 20\%$.
25. $x=3$ — $5x = 14 - (-1) = 15$, ולכן $x=\frac{15}{5}=3$.
26. $90$ — $45\% \cdot 200 = \frac{45}{100} \cdot 200 = 90$.
27. $\\$10609$ — $K(1+p)^n = 10000 \cdot (1+0.03)^{2} = 10000 \cdot 1.0609 = 10609$.
28. $x=4$ — $3x = 15 - (3) = 12$, ולכן $x = \frac{12}{3} = 4$.
29. $x=1$ — $4x = 0 - (-4) = 4$, ולכן $x=\frac{4}{4}=1$.
30. $4x+9y \ge 180$, $300x+500y \le 12000$ וגם $y \le x$ — כמות מזערית להובלה: $4x+9y\ge180$. תקציב: $300x+500y\le12000$. יחס משאיות: $y\le x$ (גדולות לא יותר מקטנות).
31. $2x+5y \le 100$ וגם $x+3y \le 45$ — עץ: כל כיסא צורך $2$ ק"ג, כל שולחן $5$ ק"ג, סה"כ עד $100$ ק"ג: $2x+5y \le 100$. עבודה: כל כיסא צורך שעה אחת, כל שולחן $3$ שעות, סה"כ עד $45$ שעות: $x+3y \le 45$.
32. $3$ שעות — קצב משותף: $\frac{1}{4}+\frac{1}{12}=\frac{1}{3}$ של העבודה לשעה, ולכן הזמן המשותף הוא $3$ שעות.
33. $99$ — $110\% \cdot 90 = \frac{110}{100} \cdot 90 = 99$.
34. $x=4$ — $6x = 28 - (4) = 24$, ולכן $x=\frac{24}{6}=4$.
35. $x=4$ — $5x = 23 - (3) = 20$, ולכן $x=\frac{20}{5}=4$.