אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x=-3$ — $2x = -9 - (-3) = -6$, ולכן $x=\frac{-6}{2}=-3$.
2. $200$ ק"מ — מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 80 \cdot 2.5 = 200$ ק"מ.
3. ירידה של $4\%$ — $1.2 \times 0.8 = 0.96$, כלומר ירידה כוללת של $4\%$.
4. $x=-2$ — $4x = -5 - (3) = -8$, ולכן $x=\frac{-8}{4}=-2$.
5. $1440$ — גדילה מעריכית: $K(1+p)^n = 1000\cdot(1+0.2)^{2} = 1000\cdot1.44 = 1440$.
6. $2$ שעות — קצב משותף: $\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$ של העבודה לשעה, ולכן הזמן המשותף הוא $2$ שעות.
7. $x=-1$ — $3x = 3 - (6) = -3$, ולכן $x=\frac{-3}{3}=-1$.
8. $8x+12y \le 480$, $x+y \le 50$ וגם $y \ge 5$ — משקל: $8x+12y\le480$. מקום: $x+y\le50$. דרישה מזערית לספרים: $y\ge5$. שלושת האילוצים יחד מתארים את המצב.
9. $x=4$ — $2x = 14 - (6) = 8$, ולכן $x=\frac{8}{2}=4$.
10. $\\$5$ — מחיר העפרונות: $3\cdot2=6$. נותרו $16-6=10$ עבור $2$ מחברות, ולכן מחברת עולה $\frac{10}{2}=5$.
11. ב-$21\%$ — $1.1 \times 1.1 = 1.21$, כלומר עלייה כוללת של $21\%$.
12. בקודקוד $(6,8)$, כאשר $Z=50$ — מציבים בכל קודקוד: $(2,0)\to6$; $(2,5)\to6+20=26$; $(6,8)\to18+32=50$; $(9,0)\to27$. המקסימום, $50$, מתקבל בקודקוד $(6,8)$.
13. $40\%$ — כמות החומר: $5\cdot0.1+15\cdot0.5=8$ ליטר מתוך $20$ ליטר. הריכוז: $\frac{8}{20}\cdot100\%=40\%$.
14. $x=1$ — $5x = 12 - (7) = 5$, ולכן $x = \frac{5}{5} = 1$.
15. $15$ — נסמן את גיל הבן $x$; גיל האב $x+30$. אז $x+(x+30)=60$, $2x=30$, $x=15$.
16. $\\$1200$ — בריבית פשוטה: $K + K \cdot p \cdot n = 800 + 800\cdot0.1\cdot5 = 1200$.
17. $30$ — $6\%\cdot500=0.06\cdot500=30$.
18. $\\$200$ — $234 = 1.17 \cdot x$, ולכן $x = \frac{234}{1.17} = 200$.
19. $(8,0)$ — עם הפונקציה החדשה $Z=5x+y$: $(0,0)\to0$; $(0,5)\to5$; $(6,3)\to30+3=33$; $(8,0)\to40+0=40$. המקסימום החדש, $40$, מתקבל בקודקוד $(8,0)$. הגדלת המקדם של $x$ (מ-$2$ ל-$5$) והקטנת המקדם של $y$ (מ-$3$ ל-$1$) הזיזו את הנקודה האופטימלית לקודקוד עם ה-$x$ הגדול ביותר.
20. $x=-2$ — $2x = 0 - (4) = -4$, ולכן $x = \frac{-4}{2} = -2$.
21. $x=-2$ — $6x = -6 - (6) = -12$, ולכן $x = \frac{-12}{6} = -2$.
22. $x=2$ — $5x = 11 - (1) = 10$, ולכן $x=\frac{10}{5}=2$.
23. $x=2$ — $7x = 11 - (-3) = 14$, ולכן $x=\frac{14}{7}=2$.
24. $x=3$ — $3x = 16 - (7) = 9$, ולכן $x = \frac{9}{3} = 3$.
25. $11$ — $44\%\cdot25=0.44\cdot25=11$.
26. $(6,4)$ — מהמשוואה השנייה: $y=28-4x$. הצבה במשוואה הראשונה: $2x+3(28-4x)=24$, כלומר $2x+84-12x=24$, ולכן $-10x=-60$, כלומר $x=6$. לכן $y=28-24=4$. הנקודה היא $(6,4)$.
27. $\\$10$ — תפוחים: $4\cdot5=20$. נותרו $50-20=30$ עבור $3$ ק"ג אגסים: $\frac{30}{3}=10$.
28. $\\$1996.5$ — $K(1+p)^n = 1500 \cdot (1+0.1)^{3} = 1500 \cdot 1.331 = 1996.5$.
29. $\\$25600$ — דעיכה מעריכית: $K(1-p)^n = 50000 \cdot (1-0.2)^{3} = 50000\cdot0.512 = 25600$.
30. $13$ — $2\%\cdot650=0.02\cdot650=13$.
31. $12$ — $3\%\cdot400=0.03\cdot400=12$.
32. $x=-3$ — $5x = -15 - (0) = -15$, ולכן $x=\frac{-15}{5}=-3$.
33. $25x+10y \le 2000$ וגם $y \le 3x$ — תקציב: $25x+10y\le2000$. היחס: מספר הקטנות ($y$) לא יעלה על פי $3$ מהגדולות ($x$), כלומר $y\le3x$.
34. $665.5$ — גדילה מעריכית: $K(1+p)^n = 500\cdot(1+0.1)^{3} = 500\cdot1.331 = 665.5$.
35. $Z=7x+5y$ — הרווח הכולל הוא סכום הרווחים משני המוצרים: $7$ ₪ כפול מספר הגביעים ($x$) ועוד $5$ ₪ כפול מספר הקונוסים ($y$). לכן $Z=7x+5y$.