🎯 אלגברה — דף תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י')

מפתח תשובות

1. x = 3 או x = 11 — תחום: x ≥ 2. מבודדים: √(2x + 3) = 2 + √(x − 2). ריבוע: 2x + 3 = 4 + 4√(x − 2) + (x − 2) ⇒ x + 1 = 4√(x − 2). ריבוע נוסף: x² + 2x + 1 = 16(x − 2) ⇒ x² − 14x + 33 = 0 ⇒ (x − 3)(x − 11) = 0. בדיקה: x = 3 נותן √9 − √1 = 3 − 1 = 2 ✓; x = 11 נותן √25 − √9 = 5 − 3 = 2 ✓. שני הפתרונות תקפים.
2. x = 11 — פותחים: 5x − 10 = 3x + 12 ⇒ 2x = 22 ⇒ x = 11.
3. t = 4 שניות — h=0: −5t²+15t+20=0 ⇒ t²−3t−4=0 ⇒ (t−4)(t+1)=0 ⇒ t=4 (חיובי).
4. 2 ≤ x ≤ 3 — שורשים x = 2, 3. פרבולה צוחקת; ≤ 0 בין השורשים כולל.
5. ln|x|+C — ∫(1/x) dx=ln|x|+C.
6. 2 ≤ x ≤ 3 — כפל ב-−1 (הופך): x²−5x+6 ≤ 0 ⇒ (x−2)(x−3)≤0 ⇒ 2≤x≤3.
7. x = 0, x = −5/2 — x(2x + 5) = 0 ⇒ x = 0 או 2x = −5 ⇒ x = −5/2.
8. x³+C — ∫3x² dx=3x³/3+C=x³+C.
9. lim_{h→0} (f(a+h)−f(a))/h — הגדרת הנגזרת: f'(a)=lim_{h→0}(f(a+h)−f(a))/h.
10. 1 ≤ x ≤ 3 — כפל ב-(−1): x² − 4x + 3 ≤ 0 ⇒ (x − 1)(x − 3) ≤ 0 ⇒ 1 ≤ x ≤ 3.
11. x = 14/5 — כפל ב-3: 2x − 5 = 9 − 3x ⇒ 5x = 14 ⇒ x = 14/5.
12. x = 10/3 — 3x + 15 − 2x + 2 = 4x + 7 ⇒ x + 17 = 4x + 7 ⇒ 10 = 3x ⇒ x = 10/3.
13. 3 — x − 1/x = 8/3. כפל ב-3x: 3x²−8x−3=0. Δ=64+36=100 ⇒ x=(8±10)/6 ⇒ x=3 או x=−1/3. החיובי: 3.
14. x = 4 — העלאה בריבוע: x + 5 = 9 ⇒ x = 4. בדיקה: √9 = 3 ✓.
15. אין פתרון — כפל במכנה משותף: (x−3)²+(x+2)² = 2(x+2)(x−3). הצד הימני: 2(x²−x−6). הצד השמאלי: 2x²−2x+13. ⇒ 2x²−2x+13 = 2x²−2x−12 ⇒ 13 = −12. סתירה.