🎯 אלגברה — דף תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י')

מפתח תשובות

1. k ≠ 10 — המקדמים פרופורציוניים (פי 2). אם k=10 — אינסוף פתרונות; אם k≠10 — אין פתרון (מקבילים).
2. x = 10/3 — 4/(x+2) = 1/(x−2) ⇒ 4(x−2) = x+2 ⇒ 4x−8 = x+2 ⇒ 3x = 10 ⇒ x = 10/3.
3. x = 4 — העלאה בריבוע: x + 5 = 9 ⇒ x = 4. בדיקה: √9 = 3 ✓.
4. x = 3 — כפל ב-4: 2(x+1) − (x−3) = 8 ⇒ 2x + 2 − x + 3 = 8 ⇒ x + 5 = 8 ⇒ x = 3.
5. 5 מ' — רוחב x, אורך x+3. x(x+3)=40 ⇒ x²+3x−40=0 ⇒ (x−5)(x+8)=0 ⇒ x=5.
6. 3 — x − 1/x = 8/3. כפל ב-3x: 3x²−8x−3=0. Δ=64+36=100 ⇒ x=(8±10)/6 ⇒ x=3 או x=−1/3. החיובי: 3.
7. 4 — x²−6x+5=0 ⇒ (x−1)(x−5)=0. שורשים 1 ו-5. מרחק = 4.
8. x = 5 בלבד — √(x+4) = x−2. תנאי x≥2. ריבוע: x+4 = x²−4x+4 ⇒ x²−5x = 0 ⇒ x(x−5)=0. x=0 פסול (x<2). x=5 תקף.
9. x ≤ −1 או x ≥ 5/2 — שורשים: x = (3 ± √49)/4 = (3 ± 7)/4 ⇒ x = 5/2 או x = −1. a > 0 ⇒ מחוץ לשורשים.
10. החלפת ביטוי מורכב ב-u לפישוט אינטגרל — u-substitution: מחליפים u=g(x) לפישוט אינטגרל.
11. −2 < x < 1 או x > 3 — סימנים בכל מרווח: (−∞,−2): −·−·− = −; (−2,1): +·−·− = +; (1,3): +·+·− = −; (3,∞): +. > 0 ⇒ (−2,1)∪(3,∞).
12. x = −2, x = −5 — פירוק: (x + 2)(x + 5) = 0. סכום −7, מכפלה 10 — שניהם שליליים.
13. x < 2 או x > 5 — פירוק: (x − 2)(x − 5). שורשים 2, 5. פרבולה צוחקת ⇒ > 0 מחוץ.
14. אין k כזה — ליחס מקדמים שווה צריך k/3 = 2/1 = 4/5. אבל 2/1 = 2 בעוד 4/5 ≠ 2 — אין k שמקיים את שתי השוויונות.
15. x = 2, x = −2 — 3x² = 12 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2.