אלגברה — דף תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י')

מפתח תשובות ופתרונות

1. אינסוף פתרונות — פתיחת סוגריים: 2x − 2 − 4 = 2x − 6 ⇒ 2x − 6 = 2x − 6, זהות ⇒ אינסוף פתרונות.
2. x = 5 בלבד (x = 1 פסול) — ריבוע: 2x−1 = (x−2)² = x²−4x+4 ⇒ x²−6x+5 = 0 ⇒ x=1 או x=5. תנאי x−2≥0 ⇒ x≥2. רק x=5 תקף.
3. x = 23 — כפל צולב: 3(2x − 1) = 5(x + 4) ⇒ 6x − 3 = 5x + 20 ⇒ x = 23.
4. אינסוף פתרונות — המשוואה השנייה היא בדיוק כפל ב-2 של הראשונה — מערכת תלויה ⇒ אינסוף פתרונות.
5. x = −3 ± √10 — x² + 6x = 1 ⇒ (x+3)² − 9 = 1 ⇒ (x+3)² = 10 ⇒ x = −3 ± √10.
6. אין פתרון — תחום: x ≠ ±1. כפל במכנה המשותף (x − 1)(x + 1): 2(x + 1) + 3(x − 1) = 5(x + 1) ⇒ 2x + 2 + 3x − 3 = 5x + 5 ⇒ 5x − 1 = 5x + 5 ⇒ −1 = 5. סתירה ⇒ אין פתרון.
7. x ≤ 2 — −4x ≥ −8 ⇒ x ≤ 2 (הפיכת סימן בחלוקה בשלילי).
8. x = (−3 ± √7)/2 — Δ = 36 − 8 = 28. x = (−6 ± 2√7)/4 = (−3 ± √7)/2.
9. k = 7 — וייטה: סכום = 7, מכפלה = k. שוויון ⇒ k = 7.
10. x = 7 — מעבירים −7 לאגף ימין: 3x = 21. מחלקים ב-3: x = 7.
11. x ≤ 3 או x ≥ 7 — |A| ≥ B שקול ל-A ≤ −B או A ≥ B. x − 5 ≤ −2 ⇒ x ≤ 3, או x − 5 ≥ 2 ⇒ x ≥ 7.
12. 5 — f'(x)=5 (קבוע).
13. −3 < x < 3 — שורשים ±3. פרבולה צוחקת, < 0 בין השורשים.
14. (3, 10/3) — חיבור: 9x = 27 ⇒ x = 3, ואז 3y = 16 − 6 = 10 ⇒ y = 10/3.
15. 5 או −6 — x²+x = 30 ⇒ x²+x−30=0 ⇒ (x−5)(x+6)=0.
16. אינסוף פתרונות — המשוואה השנייה היא בדיוק כפל ב-2 של הראשונה ⇒ מערכת תלויה ⇒ אינסוף פתרונות.
17. −1 ≤ x ≤ 3 — מוסיפים 1 לכל האגפים: −2 ≤ 2x ≤ 6, מחלקים ב-2: −1 ≤ x ≤ 3.
18. x < 2 או x > 5 — פירוק: (x − 2)(x − 5). שורשים 2, 5. פרבולה צוחקת ⇒ > 0 מחוץ.
19. 3 — x − 1/x = 8/3. כפל ב-3x: 3x²−8x−3=0. Δ=64+36=100 ⇒ x=(8±10)/6 ⇒ x=3 או x=−1/3. החיובי: 3.
20. 2 ≤ x ≤ 3 — כפל ב-−1 (הופך): x²−5x+6 ≤ 0 ⇒ (x−2)(x−3)≤0 ⇒ 2≤x≤3.
21. x³+C — ∫3x² dx=3x³/3+C=x³+C.
22. 5 — צלע a. (a+3)(a−2)=24 ⇒ a²+a−6=24 ⇒ a²+a−30=0 ⇒ (a−5)(a+6)=0 ⇒ a=5.
23. x = 4, x = −4 — הפרש ריבועים: (x − 4)(x + 4) = 0 ⇒ x = ±4.
24. (2, 1) — מהשנייה y = 4x − 7. הצבה: 2x + 3(4x − 7) = 7 ⇒ 14x = 28 ⇒ x = 2, y = 1.
25. 3x² — f'(x)=3x².