אלגברה — דף תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י')

מפתח תשובות ופתרונות

1. k = 1 — מכפלת השורשים = −12 < 0 ⇒ לשורשים סימנים מנוגדים. נסמן x₁ > 0 ו-x₂ < 0, אז |x₂| = −x₂. התנאי |x₂| = x₁ + 1 נותן −x₂ = x₁ + 1, כלומר x₁ + x₂ = −1. לפי וייטה x₁ + x₂ = −k, ולכן −k = −1 ⇒ k = 1.
2. x ≠ 2 — (x − 2)² > 0 לכל x פרט ל-x = 2 (שם הוא שווה 0).
3. אינסוף פתרונות — המשוואה השנייה היא בדיוק כפל ב-2 של הראשונה — מערכת תלויה ⇒ אינסוף פתרונות.
4. 1 — [x²]₀¹=1−0=1.
5. x = 2 — (x−2)² ≤ 0. ריבוע תמיד ≥0 ⇒ שוויון רק כאשר x=2.
6. −sin(x) — d/dx[cos(x)]=−sin(x).
7. −2 ≤ x ≤ 2 — 3x² ≤ 12 ⇒ x² ≤ 4 ⇒ −2 ≤ x ≤ 2.
8. (3, 3) — חיבור: 6x = 18 ⇒ x = 3, ואז y = 9 − 2·3 = 3.
9. k = 2 — סמן שורשים t ו-−2t. סכום: −t = −(k−3) ⇒ t = k−3. מכפלה: −2t² = −k ⇒ 2t² = k. הצב: 2(k−3)² = k ⇒ 2k²−13k+18 = 0 ⇒ Δ=169−144=25 ⇒ k=(13±5)/4 ⇒ k=9/2 או k=2.
10. k = 1/2 — להיות ריבועית דורש k ≠ 1. שורשים שווים ⇔ Δ = 0. Δ = (−2k)² − 4(k − 1)(k − 1) = 4k² − 4(k − 1)² = 4[k² − (k² − 2k + 1)] = 4(2k − 1). Δ = 0 ⇒ 2k − 1 = 0 ⇒ k = 1/2.
11. x = 3 — חיבור: 8x = 24 ⇒ x = 3.
12. k = 5 או k = −3 — Δ=(k−1)²−16=0 ⇒ (k−1)²=16 ⇒ k−1=±4 ⇒ k=5 או k=−3.
13. x = 9 — ריבוע: x+7 = x²−10x+25 ⇒ x²−11x+18=0 ⇒ (x−9)(x−2)=0. תנאי x≥5: רק x=9.
14. x^(n+1)/(n+1)+C — ∫x^n dx=x^(n+1)/(n+1)+C עבור n≠−1.
15. x = 2, x = −2 — 3x² = 12 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2.
16. x = 5 בלבד (x = 1 פסול) — ריבוע: 2x−1 = (x−2)² = x²−4x+4 ⇒ x²−6x+5 = 0 ⇒ x=1 או x=5. תנאי x−2≥0 ⇒ x≥2. רק x=5 תקף.
17. $x = 3$ — $8x + 4 - 3x + 6 = 25 \Rightarrow 5x + 10 = 25 \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = 3$.
18. k = 6 — אין פתרון ⇔ יחס מקדמי x = יחס מקדמי y ≠ יחס קבועים. 4/2 = k/3 ⇒ k = 6, ובאמת 10/6 ≠ 2.
19. 5 מ' — רוחב x, אורך x+3. x(x+3)=40 ⇒ x²+3x−40=0 ⇒ (x−5)(x+8)=0 ⇒ x=5.
20. e^x+C — ∫e^x dx=e^x+C.
21. x = −2 — 8x + 5 = 6x − 3 + 4 = 6x + 1 ⇒ 2x = −4 ⇒ x = −2.
22. x = 3, x = −3 — x² = 9 ⇒ x = ±3. אל תשכח את ±.
23. אין פתרון — כפל הראשונה ב-2: 2x + 2y = 6, אך השנייה אומרת 2x + 2y = 10 — סתירה ⇒ אין פתרון.
24. −2 ≤ x ≤ 8 — |x−3|≤5 ⇒ −5 ≤ x−3 ≤ 5 ⇒ −2 ≤ x ≤ 8.
25. אין פתרון — פתיחת סוגריים: 3x − 6 = 3x + 5 ⇒ −6 = 5, סתירה ⇒ אין פתרון.