🎯 אלגברה — דף תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י')

מפתח תשובות

1. (f'g−fg')/g² — כלל המנה: (f/g)'=(f'g−fg')/g².
2. (4, 3) — חיבור המשוואות: 2x = 8 ⇒ x = 4, ומכאן y = 3.
3. x = 2, x = 3 — פירוק: (x − 2)(x − 3) = 0 ⇒ x = 2 או x = 3. וייטה: סכום 5, מכפלה 6.
4. x = 3, x = −7 — פירוק: (x − 3)(x + 7) = 0. סכום −4, מכפלה −21.
5. 4 — x²−6x+5=0 ⇒ (x−1)(x−5)=0. שורשים 1 ו-5. מרחק = 4.
6. x = 3 או x = 11 — תחום: x ≥ 2. מבודדים: √(2x + 3) = 2 + √(x − 2). ריבוע: 2x + 3 = 4 + 4√(x − 2) + (x − 2) ⇒ x + 1 = 4√(x − 2). ריבוע נוסף: x² + 2x + 1 = 16(x − 2) ⇒ x² − 14x + 33 = 0 ⇒ (x − 3)(x − 11) = 0. בדיקה: x = 3 נותן √9 − √1 = 3 − 1 = 2 ✓; x = 11 נותן √25 − √9 = 5 − 3 = 2 ✓. שני הפתרונות תקפים.
7. x < 1/2 או x > 3 — שורשים: x=(7±√(49−24))/4 = (7±5)/4 ⇒ 1/2 ו-3. a>0 ⇒ >0 מחוץ לשורשים.
8. k = 4 — (x₁−x₂)² = (x₁+x₂)² − 4x₁x₂ ⇒ 9 = 25 − 4k ⇒ 4k = 16 ⇒ k = 4.
9. x = −11/3 — 5/(x−3) = 2/(x+1) ⇒ 5(x+1) = 2(x−3) ⇒ 5x+5 = 2x−6 ⇒ 3x = −11 ⇒ x = −11/3.
10. k = 6 — אם k=6 — המשוואה השנייה היא 2·(הראשונה) במקדמים, אך 10≠14. ⇒ אין פתרון.
11. x = 57/17 — כופלים ב-10: 5(3x−1) + 2(x+4) = 60 ⇒ 15x − 5 + 2x + 8 = 60 ⇒ 17x + 3 = 60 ⇒ 17x = 57 ⇒ x = 57/17.
12. x = 2 — תנאי x≥1. ריבוע: x²−3 = x²−2x+1 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2. בדיקה: √1 = 1 ✓.
13. x ≠ 5 — (x − 5)² > 0 לכל x פרט ל-x = 5.
14. f'g+fg' — כלל המכפלה: (fg)'=f'g+fg'.
15. x = 8 — פותחים סוגריים: 2x − 6 = 10 ⇒ 2x = 16 ⇒ x = 8.