חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. g(x) = 1/(x − 3) − 2 — אסימפטוטה אנכית x = 3 → הזזה 3 ימינה. אסימפטוטה אופקית y = −2 → הזזה 2 מטה.
2. ימינה 4, שיקוף ל-x, מעלה 6 — x − 4: ימינה 4. מינוס בחוץ: שיקוף ל-x. +6: מעלה 6.
3. −2|x + 1| + 3 — הצבה ישירה: −2·|x + 1| + 3. הזזה שמאלה 1, מתיחה פי 2 + שיקוף לציר ה-x, הזזה מעלה 3.
4. g(x) = |x − 6| — הזזה ימינה: g(x) = f(x − 6) = |x − 6|.
5. 5 ימינה — x² − 10x + 25 = (x − 5)². זו הזזה ימינה של 5 יחידות.
6. x = 40 — I(x) = (100 − x)(20 + x) = −x² + 80x + 2000. x_v = 80/2 = 40.
7. 21 — f(2) = 7. g(f(2)) = g(7) = 3(7) = 21.
8. a < 4 — Δ > 0 ⇒ 16 − 4a > 0 ⇒ a < 4.
9. x ≥ 0 — שורש של מספר שלילי לא מוגדר במספרים ממשיים. תחום: x ≥ 0.
10. (1, 0) ו-(−5, 0) — פותרים (x + 2)² = 9 → x + 2 = ±3 → x = 1 או x = −5.
11. שמאלה 5 ומטה 2 — x + 5 ⇒ שמאלה 5. − 2 בחוץ ⇒ מטה 2.
12. ימינה 1, שיקוף ל-x, מעלה 4 — x − 1: ימינה 1. סימן מינוס בחוץ: שיקוף לציר ה-x. +4: מעלה 4.
13. (0, 0), (5, 5) — x² − 4x = x ⇒ x² − 5x = 0 ⇒ x(x − 5) = 0. x = 0: y = 0. x = 5: y = 5.
14. 10 — g(2) = 2+3 = 5. f(g(2)) = f(5) = 2(5) = 10.
15. 20 מטר — t_v = −20/(−10) = 2. h(2) = −20 + 40 = 20 מטר.
16. g(x) = √(x − 1) + 2 — ימינה ב-1: x → x − 1. מעלה ב-2: +2. מתקבל √(x − 1) + 2 עם תחום x ≥ 1.
17. g(x) = x² + 4 — הזזה אנכית של k יחידות מעלה: g(x) = f(x) + k. כאן k = 4, ולכן g(x) = x² + 4.
18. (−a, −b) — שיקוף ל-y: (−a, b). שיקוף ל-x: (−a, −b). שווה ערך לסיבוב 180° סביב הראשית.
19. 3 ימינה, שיקוף לציר ה-x, 5 מעלה — (x − 3) = ימינה ב-3. סימן מינוס מחוץ = שיקוף לציר ה-x. +5 = 5 מעלה.
20. שיקוף ה-y לא משנה כי |x| זוגית — |−x| = |x|, ולכן f זוגית והשיקוף לציר ה-y מחזיר אותה פונקציה. שיקוף לציר ה-x משנה ל-−|x|.
21. שיקוף לציר ה-y, מעלה 2 — f(−x): שיקוף לציר ה-y. +2: מעלה 2. תחום חדש x ≤ 0.
22. −3 ≤ x ≤ 3 — 9 − x² ≥ 0 ⇒ x² ≤ 9 ⇒ −3 ≤ x ≤ 3.
23. x = 7, x = −3 — x − 2 = ±5 ⇒ x = 7 או x = −3.
24. (0, 7) — f(x) = √x מתחיל ב-(0, 0). הזזה 7 מעלה מעבירה את הנקודה ל-(0, 7).
25. מתיחה אופקית פי 3 והזזה 4 מטה — x/3 בתוך הריבוע = מתיחה אופקית פי 3. −4 = הזזה 4 מטה.
26. 4 — f(0) = 0 + 2 = 2. g(f(0)) = g(2) = 2² = 4
27. שיקוף ל-x, 4 ימינה, 1 מעלה — x − 4 = ימינה ב-4. סימן מינוס מחוץ = שיקוף לציר ה-x. +1 = הזזה מעלה.
28. −25/4 — h(x) = x² − x − 6. x_v = 1/2. h(1/2) = 1/4 − 1/2 − 6 = −25/4.
29. 9 — g(2) = f(3·2) = f(6) = 9.
30. x ≥ 0 — 2x ≥ 0 ⇒ x ≥ 0. הכפלה חיובית בקלט אינה משנה את התחום של √x.