∫ אינטגרלים — תרגול חשבון אינטגרלי לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות

1. 12 ליטר — $\int (3t^{2}+2)dt = t^{3} + 2t$. הכמות $= (8+4) - 0 = 12$ ליטר. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
2. $x = 4, x = -3$ — מפרקים לגורמים: $x^{2}-x-12=(x-4)(x+3)$, כי $4\cdot(-3)=-12$ ו-$4+(-3)=1$ (מקדם ה-x בסימן הפוך). מכאן $x=4$ או $x=-3$.
3. 10 חבילות, הכנסה 400 ש"ח — ההכנסה המרבית בקודקוד הפרבולה. כמות אופטימלית: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{80}{2\cdot(-4)}=10$ חבילות. ההכנסה: $R(10)=-4\cdot10^{2}+80\cdot10=-400+800=400$ ש"ח.
4. $(2, 9)$ — שיעור ה-x: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2\cdot(-2)}=2$. נציב: $y=-2\cdot2^{2}+8\cdot2+1=-8+16+1=9$. הקודקוד: $(2,9)$.
5. $x = 0.5, x = -3$ — פותרים $2x^{2}+5x-3=0$. בנוסחת השורשים: $x=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2}-4\cdot2\cdot(-3)}}{2\cdot2}=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{4}=\frac{-5\pm7}{4}$, כלומר $x=\frac{2}{4}=0.5$ או $x=\frac{-12}{4}=-3$. לחלופין בפירוק לגורמים: $2x^{2}+5x-3=(2x-1)(x+3)$, ובדיקה: $(2x-1)(x+3)=2x^{2}+6x-x-3=2x^{2}+5x-3$ ✓, ומכאן $2x-1=0 \Rightarrow x=0.5$ או $x+3=0 \Rightarrow x=-3$.
6. 1.25 — נציב $x=2$: $f(2)=\frac{3\cdot2-1}{2+2}=\frac{5}{4}=1.25$.
7. 9 מטר — $\int 6t dt = 3t^{2}$. הדרך $= 3 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 1^{2} = 12 - 3 = 9$ מטר. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
8. 36 מטר — $\int 8t dt = 4t^{2}$. הדרך $= 4 \cdot 9 - 0 = 36$ מטר. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
9. $-3 < x < 5$ — שני שורשי הפרבולה סימטריים סביב ציר הסימטריה $x=1$. המרחק מ-$1$ עד $-3$ הוא $4$, ולכן השורש השני נמצא במרחק $4$ מהצד השני: $1+4=5$. הפרבולה פותחת כלפי מעלה, ולכן שלילית בין שני השורשים: $-3<x<5$.
10. $-2 < x < 5$ — פרבולה הפותחת כלפי מעלה נמצאת מתחת לציר ה-x בין שני השורשים שלה. השורשים הם $x=-2$ ו-$x=5$, ולכן הפונקציה שלילית בתחום $-2<x<5$.
11. 8 מטר — $\int 3t^{2} dt = t^{3}$. הדרך $= 2^{3} - 0 = 8$ מטר. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
12. 2 יחידות — $\int 6t^{2} dt = 2t^{3}$. הכמות $= 2 \cdot 1 - 0 = 2$ יחידות. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
13. 6 — מחשבים קודם את הפונקציה הפנימית: $g(2)=3\cdot2-4=2$. כעת מציבים ב-$f$: $f(g(2))=f(2)=2^{2}+2=6$. טעות נפוצה: לחשב את הפונקציות בסדר הפוך ($g(f(2))$ במקום $f(g(2))$).
14. $0 \leq t \leq 4$ — פתרו $-4t^{2}+16t \geq 0$: הוציאו גורם משותף $-4t(t-4)\geq0$, כלומר $t(t-4)\leq0$. זה מתקיים בין השורשים: $0\leq t\leq4$. מכיוון שמדובר בזמן, גם $t\geq0$ מתקיים ממילא. טעות נפוצה: לקחת את המקדם 16 כשורש השני במקום לפתור את המשוואה $h(t)=0$ ולמצוא ששני השורשים הם $t=0$ ו-$t=4$.
15. 10 — חיתוך עם ציר ה-x: $-x^{2}+2x+8=0 \Rightarrow x^{2}-2x-8=0 \Rightarrow (x-4)(x+2)=0 \Rightarrow x=4, x=-2$. חיתוך עם ציר ה-y: $x=0 \Rightarrow y=8$. הנקודות: $(4,0),(-2,0),(0,8)$. סכום כל השיעורים: $4+0+(-2)+0+0+8=10$. טעות נפוצה: לשכוח לכלול את נקודת החיתוך עם ציר ה-y בסכום.