∫ אינטגרלים — תרגול חשבון אינטגרלי לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות

1. 0.4 — הציבו את הנקודה $(0,90)$: $90 = a(0-10)^{2}+50 = 100a+50$. מכאן $40=100a$, ולכן $a=0.4$. מכיוון ש-$a>0$ הפרבולה פותחת כלפי מעלה, בהתאמה לכך שהקודקוד הוא נקודת מינימום של עלות. טעות נפוצה: לשכוח להעלות בריבוע את $(0-10)$ ולקבל משוואה לינארית שגויה.
2. אין ערכי x כאלה — הפונקציה אף פעם אינה חיובית — אם הפרבולה פותחת כלפי מטה ונוגעת בציר ה-x בנקודה יחידה, סימן שהנקודה הזו היא הקודקוד, וערך הפונקציה שם הוא המקסימום שלה — $y=0$. מכיוון שהפרבולה פותחת כלפי מטה, כל שאר הערכים קטנים מהמקסימום, כלומר שליליים. אין אף ערך x שבו $y>0$. טעות נפוצה: לחשוב ש-"נוגע בנקודה אחת" אומר שהפונקציה חיובית בכל מקום אחר.
3. $0 \leq t \leq 4$ — פתרו $-4t^{2}+16t \geq 0$: הוציאו גורם משותף $-4t(t-4)\geq0$, כלומר $t(t-4)\leq0$. זה מתקיים בין השורשים: $0\leq t\leq4$. מכיוון שמדובר בזמן, גם $t\geq0$ מתקיים ממילא. טעות נפוצה: לקחת את המקדם 16 כשורש השני במקום לפתור את המשוואה $h(t)=0$ ולמצוא ששני השורשים הם $t=0$ ו-$t=4$.
4. 16 מטרים — צריך לחשב שני גבהים ולהחסיר. הגובה ההתחלתי: $h(0)=3$. הגובה לאחר 2 שניות: $h(2)=-2\cdot2^{2}+12\cdot2+3=-8+24+3=19$. העלייה בגובה: $19-3=16$ מטרים. טעות נפוצה: לדווח על $h(2)=19$ כתשובה, ולשכוח להחסיר את הגובה ההתחלתי.
5. 8 מטר — $\int 3t^{2} dt = t^{3}$. הדרך $= 2^{3} - 0 = 8$ מטר. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
6. 9 מטר — $\int 6t dt = 3t^{2}$. הדרך $= 3 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 1^{2} = 12 - 3 = 9$ מטר. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
7. $(3, -0.5)$ — שיעור ה-x: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{2\cdot0.5}=3$. נציב: $y=0.5\cdot3^{2}-3\cdot3+4=4.5-9+4=-0.5$. הקודקוד: $(3,-0.5)$.
8. $x = 0.5, x = -3$ — פותרים $2x^{2}+5x-3=0$. בנוסחת השורשים: $x=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2}-4\cdot2\cdot(-3)}}{2\cdot2}=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{4}=\frac{-5\pm7}{4}$, כלומר $x=\frac{2}{4}=0.5$ או $x=\frac{-12}{4}=-3$. לחלופין בפירוק לגורמים: $2x^{2}+5x-3=(2x-1)(x+3)$, ובדיקה: $(2x-1)(x+3)=2x^{2}+6x-x-3=2x^{2}+5x-3$ ✓, ומכאן $2x-1=0 \Rightarrow x=0.5$ או $x+3=0 \Rightarrow x=-3$.
9. $x = 4, x = -3$ — מפרקים לגורמים: $x^{2}-x-12=(x-4)(x+3)$, כי $4\cdot(-3)=-12$ ו-$4+(-3)=1$ (מקדם ה-x בסימן הפוך). מכאן $x=4$ או $x=-3$.
10. $2 < x < 10$ — פותרים את אי-השוויון $2x^{2}-24x+300<260$. מעבירים אגף: $2x^{2}-24x+40<0$, מחלקים ב-2: $x^{2}-12x+20<0$. פותרים את המשוואה $x^{2}-12x+20=0$: $x=\frac{12\pm\sqrt{144-80}}{2}=\frac{12\pm8}{2}$, כלומר $x=2$ או $x=10$. מכיוון שהפרבולה פותחת כלפי מעלה, הביטוי שלילי בין השורשים: $2<x<10$. טעות נפוצה: לחשב $\sqrt{64}=6$ במקום $8$, מה שנותן שורשים שגויים.
11. $(3, 0)$ — שיעור ה-x של הקודקוד תלוי רק ב-$a,b$ ולא ב-$k$: $x=-\frac{-6}{2\cdot1}=3$. הנתון ש-הקודקוד על ציר ה-x אומר בדיוק ש-$y=0$ שם, בלי צורך לחשב את $k$. הקודקוד: $(3,0)$. טעות נפוצה: לנסות למצוא את $k$ ואז להציב, במקום לשים לב שהנתון כבר קובע $y=0$.
12. 10 חבילות, הכנסה 400 ש"ח — ההכנסה המרבית בקודקוד הפרבולה. כמות אופטימלית: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{80}{2\cdot(-4)}=10$ חבילות. ההכנסה: $R(10)=-4\cdot10^{2}+80\cdot10=-400+800=400$ ש"ח.
13. 12 ליטר — $\int (3t^{2}+2)dt = t^{3} + 2t$. הכמות $= (8+4) - 0 = 12$ ליטר. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
14. 2.4 שניות, גובה 30.8 מטרים — הגובה המרבי מתקבל בקודקוד הפרבולה. הזמן: $t=-\frac{b}{2a}=-\frac{24}{2\cdot(-5)}=2.4$ שניות. הגובה: $h(2.4)=-5\cdot2.4^{2}+24\cdot2.4+2=-28.8+57.6+2=30.8$ מטרים. טעות נפוצה: להשתמש בנוסחה $t=-\frac{b}{a}$ (בלי לחלק ב-2), מה שנותן $t=4.8$ שגוי.
15. $(2, -5)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\cdot2}=2$. נציב: $y=2\cdot2^{2}-8\cdot2+3=8-16+3=-5$. הקודקוד: $(2,-5)$.