∫ אינטגרלים — תרגול חשבון אינטגרלי לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות

1. $(2, 9)$ — שיעור ה-x: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2\cdot(-2)}=2$. נציב: $y=-2\cdot2^{2}+8\cdot2+1=-8+16+1=9$. הקודקוד: $(2,9)$.
2. $2 < x < 10$ — פותרים את אי-השוויון $2x^{2}-24x+300<260$. מעבירים אגף: $2x^{2}-24x+40<0$, מחלקים ב-2: $x^{2}-12x+20<0$. פותרים את המשוואה $x^{2}-12x+20=0$: $x=\frac{12\pm\sqrt{144-80}}{2}=\frac{12\pm8}{2}$, כלומר $x=2$ או $x=10$. מכיוון שהפרבולה פותחת כלפי מעלה, הביטוי שלילי בין השורשים: $2<x<10$. טעות נפוצה: לחשב $\sqrt{64}=6$ במקום $8$, מה שנותן שורשים שגויים.
3. 50 ליטר — הכמות $= \int r(t)dt = \int 4t dt = 2t^{2}$. מ-0 עד $5: 2 \cdot 25 = 50$ ליטר. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
4. $-3 < x < 5$ — שני שורשי הפרבולה סימטריים סביב ציר הסימטריה $x=1$. המרחק מ-$1$ עד $-3$ הוא $4$, ולכן השורש השני נמצא במרחק $4$ מהצד השני: $1+4=5$. הפרבולה פותחת כלפי מעלה, ולכן שלילית בין שני השורשים: $-3<x<5$.
5. 0.4 — הציבו את הנקודה $(0,90)$: $90 = a(0-10)^{2}+50 = 100a+50$. מכאן $40=100a$, ולכן $a=0.4$. מכיוון ש-$a>0$ הפרבולה פותחת כלפי מעלה, בהתאמה לכך שהקודקוד הוא נקודת מינימום של עלות. טעות נפוצה: לשכוח להעלות בריבוע את $(0-10)$ ולקבל משוואה לינארית שגויה.
6. $x = 0.5, x = -3$ — פותרים $2x^{2}+5x-3=0$. בנוסחת השורשים: $x=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2}-4\cdot2\cdot(-3)}}{2\cdot2}=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{4}=\frac{-5\pm7}{4}$, כלומר $x=\frac{2}{4}=0.5$ או $x=\frac{-12}{4}=-3$. לחלופין בפירוק לגורמים: $2x^{2}+5x-3=(2x-1)(x+3)$, ובדיקה: $(2x-1)(x+3)=2x^{2}+6x-x-3=2x^{2}+5x-3$ ✓, ומכאן $2x-1=0 \Rightarrow x=0.5$ או $x+3=0 \Rightarrow x=-3$.
7. 8 מטר — $\int 3t^{2} dt = t^{3}$. הדרך $= 2^{3} - 0 = 8$ מטר. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
8. 10 חבילות, הכנסה 400 ש"ח — ההכנסה המרבית בקודקוד הפרבולה. כמות אופטימלית: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{80}{2\cdot(-4)}=10$ חבילות. ההכנסה: $R(10)=-4\cdot10^{2}+80\cdot10=-400+800=400$ ש"ח.
9. $-2 < x < 5$ — פרבולה הפותחת כלפי מעלה נמצאת מתחת לציר ה-x בין שני השורשים שלה. השורשים הם $x=-2$ ו-$x=5$, ולכן הפונקציה שלילית בתחום $-2<x<5$.
10. $(0, -9)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x=0$: $y=3\cdot0^{2}-6\cdot0-9=-9$. הנקודה: $(0,-9)$.
11. 20 יחידות, רווח 750 ש"ח — $P(x)=R(x)-C(x)=100x-(2x^{2}+20x+50)=-2x^{2}+80x-50$. הרווח המרבי בקודקוד: $x=-\frac{80}{2\cdot(-2)}=20$ יחידות. $P(20)=-2\cdot20^{2}+80\cdot20-50=-800+1600-50=750$ ש"ח. טעות נפוצה: לפזר את הסימן השלילי רק על האיבר הראשון של $C(x)$ ולא על כולו, מה שמוביל לפונקציית רווח שגויה.
12. 12 ליטר — $\int (3t^{2}+2)dt = t^{3} + 2t$. הכמות $= (8+4) - 0 = 12$ ליטר. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
13. 9 מטר — הדרך $= \int v(t)dt. \int 2t dt = t^{2}$. הדרך מ-0 עד $3: 3^{2} - 0^{2} = 9$ מטר. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
14. אין ערכי x כאלה — הפונקציה אף פעם אינה חיובית — אם הפרבולה פותחת כלפי מטה ונוגעת בציר ה-x בנקודה יחידה, סימן שהנקודה הזו היא הקודקוד, וערך הפונקציה שם הוא המקסימום שלה — $y=0$. מכיוון שהפרבולה פותחת כלפי מטה, כל שאר הערכים קטנים מהמקסימום, כלומר שליליים. אין אף ערך x שבו $y>0$. טעות נפוצה: לחשוב ש-"נוגע בנקודה אחת" אומר שהפונקציה חיובית בכל מקום אחר.
15. $(2, -1)$ ו-$(4, 3)$ — משווים: $x^{2}-4x+3=2x-5 \Rightarrow x^{2}-6x+8=0 \Rightarrow (x-2)(x-4)=0 \Rightarrow x=2, x=4$. נציב בישר: $y=2\cdot2-5=-1$, $y=2\cdot4-5=3$. הנקודות: $(2,-1)$ ו-$(4,3)$.