∫ אינטגרלים — תרגול חשבון אינטגרלי לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות

1. אין ערכי x כאלה — הפונקציה אף פעם אינה חיובית — אם הפרבולה פותחת כלפי מטה ונוגעת בציר ה-x בנקודה יחידה, סימן שהנקודה הזו היא הקודקוד, וערך הפונקציה שם הוא המקסימום שלה — $y=0$. מכיוון שהפרבולה פותחת כלפי מטה, כל שאר הערכים קטנים מהמקסימום, כלומר שליליים. אין אף ערך x שבו $y>0$. טעות נפוצה: לחשוב ש-"נוגע בנקודה אחת" אומר שהפונקציה חיובית בכל מקום אחר.
2. $(3, 4)$ — משווים: $3x-5=-2x+10 \Rightarrow 5x=15 \Rightarrow x=3$. נציב: $y=3\cdot3-5=4$. נקודת החיתוך: $(3,4)$.
3. 9 מטר — הדרך $= \int v(t)dt. \int 2t dt = t^{2}$. הדרך מ-0 עד $3: 3^{2} - 0^{2} = 9$ מטר. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
4. $(2, -1)$ ו-$(4, 3)$ — משווים: $x^{2}-4x+3=2x-5 \Rightarrow x^{2}-6x+8=0 \Rightarrow (x-2)(x-4)=0 \Rightarrow x=2, x=4$. נציב בישר: $y=2\cdot2-5=-1$, $y=2\cdot4-5=3$. הנקודות: $(2,-1)$ ו-$(4,3)$.
5. $(3, 0)$ — שיעור ה-x של הקודקוד תלוי רק ב-$a,b$ ולא ב-$k$: $x=-\frac{-6}{2\cdot1}=3$. הנתון ש-הקודקוד על ציר ה-x אומר בדיוק ש-$y=0$ שם, בלי צורך לחשב את $k$. הקודקוד: $(3,0)$. טעות נפוצה: לנסות למצוא את $k$ ואז להציב, במקום לשים לב שהנתון כבר קובע $y=0$.
6. $0 \leq t \leq 4$ — פתרו $-4t^{2}+16t \geq 0$: הוציאו גורם משותף $-4t(t-4)\geq0$, כלומר $t(t-4)\leq0$. זה מתקיים בין השורשים: $0\leq t\leq4$. מכיוון שמדובר בזמן, גם $t\geq0$ מתקיים ממילא. טעות נפוצה: לקחת את המקדם 16 כשורש השני במקום לפתור את המשוואה $h(t)=0$ ולמצוא ששני השורשים הם $t=0$ ו-$t=4$.
7. $2 < x < 10$ — פותרים את אי-השוויון $2x^{2}-24x+300<260$. מעבירים אגף: $2x^{2}-24x+40<0$, מחלקים ב-2: $x^{2}-12x+20<0$. פותרים את המשוואה $x^{2}-12x+20=0$: $x=\frac{12\pm\sqrt{144-80}}{2}=\frac{12\pm8}{2}$, כלומר $x=2$ או $x=10$. מכיוון שהפרבולה פותחת כלפי מעלה, הביטוי שלילי בין השורשים: $2<x<10$. טעות נפוצה: לחשב $\sqrt{64}=6$ במקום $8$, מה שנותן שורשים שגויים.
8. 6 — מחשבים קודם את הפונקציה הפנימית: $g(2)=3\cdot2-4=2$. כעת מציבים ב-$f$: $f(g(2))=f(2)=2^{2}+2=6$. טעות נפוצה: לחשב את הפונקציות בסדר הפוך ($g(f(2))$ במקום $f(g(2))$).
9. 0.4 — הציבו את הנקודה $(0,90)$: $90 = a(0-10)^{2}+50 = 100a+50$. מכאן $40=100a$, ולכן $a=0.4$. מכיוון ש-$a>0$ הפרבולה פותחת כלפי מעלה, בהתאמה לכך שהקודקוד הוא נקודת מינימום של עלות. טעות נפוצה: לשכוח להעלות בריבוע את $(0-10)$ ולקבל משוואה לינארית שגויה.
10. $-2 < x < 5$ — פרבולה הפותחת כלפי מעלה נמצאת מתחת לציר ה-x בין שני השורשים שלה. השורשים הם $x=-2$ ו-$x=5$, ולכן הפונקציה שלילית בתחום $-2<x<5$.
11. $x = 0.5, x = -3$ — פותרים $2x^{2}+5x-3=0$. בנוסחת השורשים: $x=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2}-4\cdot2\cdot(-3)}}{2\cdot2}=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{4}=\frac{-5\pm7}{4}$, כלומר $x=\frac{2}{4}=0.5$ או $x=\frac{-12}{4}=-3$. לחלופין בפירוק לגורמים: $2x^{2}+5x-3=(2x-1)(x+3)$, ובדיקה: $(2x-1)(x+3)=2x^{2}+6x-x-3=2x^{2}+5x-3$ ✓, ומכאן $2x-1=0 \Rightarrow x=0.5$ או $x+3=0 \Rightarrow x=-3$.
12. $(2, -5)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\cdot2}=2$. נציב: $y=2\cdot2^{2}-8\cdot2+3=8-16+3=-5$. הקודקוד: $(2,-5)$.
13. 10 חבילות, הכנסה 400 ש"ח — ההכנסה המרבית בקודקוד הפרבולה. כמות אופטימלית: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{80}{2\cdot(-4)}=10$ חבילות. ההכנסה: $R(10)=-4\cdot10^{2}+80\cdot10=-400+800=400$ ש"ח.
14. -8 — משווים: $x^{2}-4x+7=mx+3 \Rightarrow x^{2}-(4+m)x+4=0$. משיק אומר שהדיסקרימיננטה שווה 0: $(4+m)^{2}-16=0 \Rightarrow (4+m)^{2}=16 \Rightarrow 4+m=\pm4$. מכאן $m=0$ או $m=-8$. הערך השלילי: $m=-8$. טעות נפוצה: לשכוח את ה-$\pm$ בעת פתרון $(4+m)^{2}=16$ ולקבל רק פתרון אחד, במקום שניים.
15. 5 מטרים — מצאו קודם את $a$ מתוך הנקודה $(0,0)$: $0 = a(0-6)^{2}+9 = 36a+9 \Rightarrow a=-0.25$. כעת $h(x) = -0.25(x-6)^{2}+9$. הציבו $x=10$: $h(10) = -0.25\cdot(10-6)^{2}+9 = -0.25\cdot16+9 = -4+9=5$. טעות נפוצה: להציב ישירות $a=1$ ולדלג על שלב מציאת $a$ מנקודת הפתיחה, מה שנותן תוצאה שגויה.