∫ אינטגרלים — תרגול חשבון אינטגרלי לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות

1. 9 מטר — הדרך $= \int v(t)dt. \int 2t dt = t^{2}$. הדרך מ-0 עד $3: 3^{2} - 0^{2} = 9$ מטר. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
2. -8 — משווים: $x^{2}-4x+7=mx+3 \Rightarrow x^{2}-(4+m)x+4=0$. משיק אומר שהדיסקרימיננטה שווה 0: $(4+m)^{2}-16=0 \Rightarrow (4+m)^{2}=16 \Rightarrow 4+m=\pm4$. מכאן $m=0$ או $m=-8$. הערך השלילי: $m=-8$. טעות נפוצה: לשכוח את ה-$\pm$ בעת פתרון $(4+m)^{2}=16$ ולקבל רק פתרון אחד, במקום שניים.
3. 9 מטר — $\int 6t dt = 3t^{2}$. הדרך $= 3 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 1^{2} = 12 - 3 = 9$ מטר. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
4. $(0, -9)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x=0$: $y=3\cdot0^{2}-6\cdot0-9=-9$. הנקודה: $(0,-9)$.
5. 16 מטרים — צריך לחשב שני גבהים ולהחסיר. הגובה ההתחלתי: $h(0)=3$. הגובה לאחר 2 שניות: $h(2)=-2\cdot2^{2}+12\cdot2+3=-8+24+3=19$. העלייה בגובה: $19-3=16$ מטרים. טעות נפוצה: לדווח על $h(2)=19$ כתשובה, ולשכוח להחסיר את הגובה ההתחלתי.
6. $x = 0.5, x = -3$ — פותרים $2x^{2}+5x-3=0$. בנוסחת השורשים: $x=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2}-4\cdot2\cdot(-3)}}{2\cdot2}=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{4}=\frac{-5\pm7}{4}$, כלומר $x=\frac{2}{4}=0.5$ או $x=\frac{-12}{4}=-3$. לחלופין בפירוק לגורמים: $2x^{2}+5x-3=(2x-1)(x+3)$, ובדיקה: $(2x-1)(x+3)=2x^{2}+6x-x-3=2x^{2}+5x-3$ ✓, ומכאן $2x-1=0 \Rightarrow x=0.5$ או $x+3=0 \Rightarrow x=-3$.
7. $(2, 9)$ — שיעור ה-x: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2\cdot(-2)}=2$. נציב: $y=-2\cdot2^{2}+8\cdot2+1=-8+16+1=9$. הקודקוד: $(2,9)$.
8. 2.4 שניות, גובה 30.8 מטרים — הגובה המרבי מתקבל בקודקוד הפרבולה. הזמן: $t=-\frac{b}{2a}=-\frac{24}{2\cdot(-5)}=2.4$ שניות. הגובה: $h(2.4)=-5\cdot2.4^{2}+24\cdot2.4+2=-28.8+57.6+2=30.8$ מטרים. טעות נפוצה: להשתמש בנוסחה $t=-\frac{b}{a}$ (בלי לחלק ב-2), מה שנותן $t=4.8$ שגוי.
9. $0 \leq t \leq 4$ — פתרו $-4t^{2}+16t \geq 0$: הוציאו גורם משותף $-4t(t-4)\geq0$, כלומר $t(t-4)\leq0$. זה מתקיים בין השורשים: $0\leq t\leq4$. מכיוון שמדובר בזמן, גם $t\geq0$ מתקיים ממילא. טעות נפוצה: לקחת את המקדם 16 כשורש השני במקום לפתור את המשוואה $h(t)=0$ ולמצוא ששני השורשים הם $t=0$ ו-$t=4$.
10. 20 יחידות, רווח 750 ש"ח — $P(x)=R(x)-C(x)=100x-(2x^{2}+20x+50)=-2x^{2}+80x-50$. הרווח המרבי בקודקוד: $x=-\frac{80}{2\cdot(-2)}=20$ יחידות. $P(20)=-2\cdot20^{2}+80\cdot20-50=-800+1600-50=750$ ש"ח. טעות נפוצה: לפזר את הסימן השלילי רק על האיבר הראשון של $C(x)$ ולא על כולו, מה שמוביל לפונקציית רווח שגויה.
11. $(2, -1)$ ו-$(4, 3)$ — משווים: $x^{2}-4x+3=2x-5 \Rightarrow x^{2}-6x+8=0 \Rightarrow (x-2)(x-4)=0 \Rightarrow x=2, x=4$. נציב בישר: $y=2\cdot2-5=-1$, $y=2\cdot4-5=3$. הנקודות: $(2,-1)$ ו-$(4,3)$.
12. 2 יחידות — $\int 6t^{2} dt = 2t^{3}$. הכמות $= 2 \cdot 1 - 0 = 2$ יחידות. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
13. אין ערכי x כאלה — הפונקציה אף פעם אינה חיובית — אם הפרבולה פותחת כלפי מטה ונוגעת בציר ה-x בנקודה יחידה, סימן שהנקודה הזו היא הקודקוד, וערך הפונקציה שם הוא המקסימום שלה — $y=0$. מכיוון שהפרבולה פותחת כלפי מטה, כל שאר הערכים קטנים מהמקסימום, כלומר שליליים. אין אף ערך x שבו $y>0$. טעות נפוצה: לחשוב ש-"נוגע בנקודה אחת" אומר שהפונקציה חיובית בכל מקום אחר.
14. 20 מטר — $\int (2t+1)dt = t^{2} + t$. הדרך $= (16+4) - 0 = 20$ מטר. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
15. 8 מטר — $\int 3t^{2} dt = t^{3}$. הדרך $= 2^{3} - 0 = 8$ מטר. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.