∫ אינטגרלים — תרגול חשבון אינטגרלי לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות

1. 0.4 — הציבו את הנקודה $(0,90)$: $90 = a(0-10)^{2}+50 = 100a+50$. מכאן $40=100a$, ולכן $a=0.4$. מכיוון ש-$a>0$ הפרבולה פותחת כלפי מעלה, בהתאמה לכך שהקודקוד הוא נקודת מינימום של עלות. טעות נפוצה: לשכוח להעלות בריבוע את $(0-10)$ ולקבל משוואה לינארית שגויה.
2. 5 מטרים — מצאו קודם את $a$ מתוך הנקודה $(0,0)$: $0 = a(0-6)^{2}+9 = 36a+9 \Rightarrow a=-0.25$. כעת $h(x) = -0.25(x-6)^{2}+9$. הציבו $x=10$: $h(10) = -0.25\cdot(10-6)^{2}+9 = -0.25\cdot16+9 = -4+9=5$. טעות נפוצה: להציב ישירות $a=1$ ולדלג על שלב מציאת $a$ מנקודת הפתיחה, מה שנותן תוצאה שגויה.
3. 9 מטר — הדרך $= \int v(t)dt. \int 2t dt = t^{2}$. הדרך מ-0 עד $3: 3^{2} - 0^{2} = 9$ מטר. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
4. $(3, 4)$ — משווים: $3x-5=-2x+10 \Rightarrow 5x=15 \Rightarrow x=3$. נציב: $y=3\cdot3-5=4$. נקודת החיתוך: $(3,4)$.
5. 12 ליטר — $\int (3t^{2}+2)dt = t^{3} + 2t$. הכמות $= (8+4) - 0 = 12$ ליטר. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
6. $(2, 9)$ — שיעור ה-x: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2\cdot(-2)}=2$. נציב: $y=-2\cdot2^{2}+8\cdot2+1=-8+16+1=9$. הקודקוד: $(2,9)$.
7. $(0, 2)$ ו-$(3, 5)$ — משווים: $2x^{2}-5x+2=x^{2}-2x+2$. מעבירים אגף: $x^{2}-3x=0 \Rightarrow x(x-3)=0 \Rightarrow x=0, x=3$. נציב בפרבולה השנייה: $y=0^{2}-2\cdot0+2=2$, $y=3^{2}-2\cdot3+2=5$. הנקודות: $(0,2)$ ו-$(3,5)$. טעות נפוצה: טעות סימן בהעברת אגפים, שמובילה לפתרון שגוי של המשוואה הריבועית.
8. $(2, -1)$ ו-$(4, 3)$ — משווים: $x^{2}-4x+3=2x-5 \Rightarrow x^{2}-6x+8=0 \Rightarrow (x-2)(x-4)=0 \Rightarrow x=2, x=4$. נציב בישר: $y=2\cdot2-5=-1$, $y=2\cdot4-5=3$. הנקודות: $(2,-1)$ ו-$(4,3)$.
9. 9 מטר — $\int 6t dt = 3t^{2}$. הדרך $= 3 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 1^{2} = 12 - 3 = 9$ מטר. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
10. $x = 0.5, x = -3$ — פותרים $2x^{2}+5x-3=0$. בנוסחת השורשים: $x=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2}-4\cdot2\cdot(-3)}}{2\cdot2}=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{4}=\frac{-5\pm7}{4}$, כלומר $x=\frac{2}{4}=0.5$ או $x=\frac{-12}{4}=-3$. לחלופין בפירוק לגורמים: $2x^{2}+5x-3=(2x-1)(x+3)$, ובדיקה: $(2x-1)(x+3)=2x^{2}+6x-x-3=2x^{2}+5x-3$ ✓, ומכאן $2x-1=0 \Rightarrow x=0.5$ או $x+3=0 \Rightarrow x=-3$.
11. 2 יחידות — $\int 6t^{2} dt = 2t^{3}$. הכמות $= 2 \cdot 1 - 0 = 2$ יחידות. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
12. 10 — חיתוך עם ציר ה-x: $-x^{2}+2x+8=0 \Rightarrow x^{2}-2x-8=0 \Rightarrow (x-4)(x+2)=0 \Rightarrow x=4, x=-2$. חיתוך עם ציר ה-y: $x=0 \Rightarrow y=8$. הנקודות: $(4,0),(-2,0),(0,8)$. סכום כל השיעורים: $4+0+(-2)+0+0+8=10$. טעות נפוצה: לשכוח לכלול את נקודת החיתוך עם ציר ה-y בסכום.
13. 10 חבילות, הכנסה 400 ש"ח — ההכנסה המרבית בקודקוד הפרבולה. כמות אופטימלית: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{80}{2\cdot(-4)}=10$ חבילות. ההכנסה: $R(10)=-4\cdot10^{2}+80\cdot10=-400+800=400$ ש"ח.
14. -8 — משווים: $x^{2}-4x+7=mx+3 \Rightarrow x^{2}-(4+m)x+4=0$. משיק אומר שהדיסקרימיננטה שווה 0: $(4+m)^{2}-16=0 \Rightarrow (4+m)^{2}=16 \Rightarrow 4+m=\pm4$. מכאן $m=0$ או $m=-8$. הערך השלילי: $m=-8$. טעות נפוצה: לשכוח את ה-$\pm$ בעת פתרון $(4+m)^{2}=16$ ולקבל רק פתרון אחד, במקום שניים.
15. $-2 < x < 5$ — פרבולה הפותחת כלפי מעלה נמצאת מתחת לציר ה-x בין שני השורשים שלה. השורשים הם $x=-2$ ו-$x=5$, ולכן הפונקציה שלילית בתחום $-2<x<5$.