∫ אינטגרלים — תרגול חשבון אינטגרלי לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות

1. 0.4 — הציבו את הנקודה $(0,90)$: $90 = a(0-10)^{2}+50 = 100a+50$. מכאן $40=100a$, ולכן $a=0.4$. מכיוון ש-$a>0$ הפרבולה פותחת כלפי מעלה, בהתאמה לכך שהקודקוד הוא נקודת מינימום של עלות. טעות נפוצה: לשכוח להעלות בריבוע את $(0-10)$ ולקבל משוואה לינארית שגויה.
2. 36 מטר — $\int 8t dt = 4t^{2}$. הדרך $= 4 \cdot 9 - 0 = 36$ מטר. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
3. $x = 4, x = -3$ — מפרקים לגורמים: $x^{2}-x-12=(x-4)(x+3)$, כי $4\cdot(-3)=-12$ ו-$4+(-3)=1$ (מקדם ה-x בסימן הפוך). מכאן $x=4$ או $x=-3$.
4. 2 יחידות — $\int 6t^{2} dt = 2t^{3}$. הכמות $= 2 \cdot 1 - 0 = 2$ יחידות. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
5. 9 מטר — $\int 6t dt = 3t^{2}$. הדרך $= 3 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 1^{2} = 12 - 3 = 9$ מטר. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
6. 20 יחידות, רווח 750 ש"ח — $P(x)=R(x)-C(x)=100x-(2x^{2}+20x+50)=-2x^{2}+80x-50$. הרווח המרבי בקודקוד: $x=-\frac{80}{2\cdot(-2)}=20$ יחידות. $P(20)=-2\cdot20^{2}+80\cdot20-50=-800+1600-50=750$ ש"ח. טעות נפוצה: לפזר את הסימן השלילי רק על האיבר הראשון של $C(x)$ ולא על כולו, מה שמוביל לפונקציית רווח שגויה.
7. $(0, -9)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x=0$: $y=3\cdot0^{2}-6\cdot0-9=-9$. הנקודה: $(0,-9)$.
8. $(3, 4)$ — משווים: $3x-5=-2x+10 \Rightarrow 5x=15 \Rightarrow x=3$. נציב: $y=3\cdot3-5=4$. נקודת החיתוך: $(3,4)$.
9. 2.4 שניות, גובה 30.8 מטרים — הגובה המרבי מתקבל בקודקוד הפרבולה. הזמן: $t=-\frac{b}{2a}=-\frac{24}{2\cdot(-5)}=2.4$ שניות. הגובה: $h(2.4)=-5\cdot2.4^{2}+24\cdot2.4+2=-28.8+57.6+2=30.8$ מטרים. טעות נפוצה: להשתמש בנוסחה $t=-\frac{b}{a}$ (בלי לחלק ב-2), מה שנותן $t=4.8$ שגוי.
10. 20 מטר — $\int (2t+1)dt = t^{2} + t$. הדרך $= (16+4) - 0 = 20$ מטר. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
11. $(2, -5)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\cdot2}=2$. נציב: $y=2\cdot2^{2}-8\cdot2+3=8-16+3=-5$. הקודקוד: $(2,-5)$.
12. $(3, -0.5)$ — שיעור ה-x: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{2\cdot0.5}=3$. נציב: $y=0.5\cdot3^{2}-3\cdot3+4=4.5-9+4=-0.5$. הקודקוד: $(3,-0.5)$.
13. $2 < x < 10$ — פותרים את אי-השוויון $2x^{2}-24x+300<260$. מעבירים אגף: $2x^{2}-24x+40<0$, מחלקים ב-2: $x^{2}-12x+20<0$. פותרים את המשוואה $x^{2}-12x+20=0$: $x=\frac{12\pm\sqrt{144-80}}{2}=\frac{12\pm8}{2}$, כלומר $x=2$ או $x=10$. מכיוון שהפרבולה פותחת כלפי מעלה, הביטוי שלילי בין השורשים: $2<x<10$. טעות נפוצה: לחשב $\sqrt{64}=6$ במקום $8$, מה שנותן שורשים שגויים.
14. 10 — חיתוך עם ציר ה-x: $-x^{2}+2x+8=0 \Rightarrow x^{2}-2x-8=0 \Rightarrow (x-4)(x+2)=0 \Rightarrow x=4, x=-2$. חיתוך עם ציר ה-y: $x=0 \Rightarrow y=8$. הנקודות: $(4,0),(-2,0),(0,8)$. סכום כל השיעורים: $4+0+(-2)+0+0+8=10$. טעות נפוצה: לשכוח לכלול את נקודת החיתוך עם ציר ה-y בסכום.
15. 1.25 — נציב $x=2$: $f(2)=\frac{3\cdot2-1}{2+2}=\frac{5}{4}=1.25$.