∫ אינטגרלים — תרגול חשבון אינטגרלי לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות

1. 8 מטר — $\int 3t^{2} dt = t^{3}$. הדרך $= 2^{3} - 0 = 8$ מטר. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
2. 20 מטר — $\int (2t+1)dt = t^{2} + t$. הדרך $= (16+4) - 0 = 20$ מטר. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
3. $(0, 2)$ ו-$(3, 5)$ — משווים: $2x^{2}-5x+2=x^{2}-2x+2$. מעבירים אגף: $x^{2}-3x=0 \Rightarrow x(x-3)=0 \Rightarrow x=0, x=3$. נציב בפרבולה השנייה: $y=0^{2}-2\cdot0+2=2$, $y=3^{2}-2\cdot3+2=5$. הנקודות: $(0,2)$ ו-$(3,5)$. טעות נפוצה: טעות סימן בהעברת אגפים, שמובילה לפתרון שגוי של המשוואה הריבועית.
4. $(3, 0)$ — שיעור ה-x של הקודקוד תלוי רק ב-$a,b$ ולא ב-$k$: $x=-\frac{-6}{2\cdot1}=3$. הנתון ש-הקודקוד על ציר ה-x אומר בדיוק ש-$y=0$ שם, בלי צורך לחשב את $k$. הקודקוד: $(3,0)$. טעות נפוצה: לנסות למצוא את $k$ ואז להציב, במקום לשים לב שהנתון כבר קובע $y=0$.
5. 9 מטר — הדרך $= \int v(t)dt. \int 2t dt = t^{2}$. הדרך מ-0 עד $3: 3^{2} - 0^{2} = 9$ מטר. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
6. $(3, 4)$ — משווים: $3x-5=-2x+10 \Rightarrow 5x=15 \Rightarrow x=3$. נציב: $y=3\cdot3-5=4$. נקודת החיתוך: $(3,4)$.
7. $x = 4, x = -3$ — מפרקים לגורמים: $x^{2}-x-12=(x-4)(x+3)$, כי $4\cdot(-3)=-12$ ו-$4+(-3)=1$ (מקדם ה-x בסימן הפוך). מכאן $x=4$ או $x=-3$.
8. -8 — משווים: $x^{2}-4x+7=mx+3 \Rightarrow x^{2}-(4+m)x+4=0$. משיק אומר שהדיסקרימיננטה שווה 0: $(4+m)^{2}-16=0 \Rightarrow (4+m)^{2}=16 \Rightarrow 4+m=\pm4$. מכאן $m=0$ או $m=-8$. הערך השלילי: $m=-8$. טעות נפוצה: לשכוח את ה-$\pm$ בעת פתרון $(4+m)^{2}=16$ ולקבל רק פתרון אחד, במקום שניים.
9. $(3, -0.5)$ — שיעור ה-x: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{2\cdot0.5}=3$. נציב: $y=0.5\cdot3^{2}-3\cdot3+4=4.5-9+4=-0.5$. הקודקוד: $(3,-0.5)$.
10. $0 \leq t \leq 4$ — פתרו $-4t^{2}+16t \geq 0$: הוציאו גורם משותף $-4t(t-4)\geq0$, כלומר $t(t-4)\leq0$. זה מתקיים בין השורשים: $0\leq t\leq4$. מכיוון שמדובר בזמן, גם $t\geq0$ מתקיים ממילא. טעות נפוצה: לקחת את המקדם 16 כשורש השני במקום לפתור את המשוואה $h(t)=0$ ולמצוא ששני השורשים הם $t=0$ ו-$t=4$.
11. $x = 0.5, x = -3$ — פותרים $2x^{2}+5x-3=0$. בנוסחת השורשים: $x=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2}-4\cdot2\cdot(-3)}}{2\cdot2}=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{4}=\frac{-5\pm7}{4}$, כלומר $x=\frac{2}{4}=0.5$ או $x=\frac{-12}{4}=-3$. לחלופין בפירוק לגורמים: $2x^{2}+5x-3=(2x-1)(x+3)$, ובדיקה: $(2x-1)(x+3)=2x^{2}+6x-x-3=2x^{2}+5x-3$ ✓, ומכאן $2x-1=0 \Rightarrow x=0.5$ או $x+3=0 \Rightarrow x=-3$.
12. 16 מטרים — צריך לחשב שני גבהים ולהחסיר. הגובה ההתחלתי: $h(0)=3$. הגובה לאחר 2 שניות: $h(2)=-2\cdot2^{2}+12\cdot2+3=-8+24+3=19$. העלייה בגובה: $19-3=16$ מטרים. טעות נפוצה: לדווח על $h(2)=19$ כתשובה, ולשכוח להחסיר את הגובה ההתחלתי.
13. $2 < x < 10$ — פותרים את אי-השוויון $2x^{2}-24x+300<260$. מעבירים אגף: $2x^{2}-24x+40<0$, מחלקים ב-2: $x^{2}-12x+20<0$. פותרים את המשוואה $x^{2}-12x+20=0$: $x=\frac{12\pm\sqrt{144-80}}{2}=\frac{12\pm8}{2}$, כלומר $x=2$ או $x=10$. מכיוון שהפרבולה פותחת כלפי מעלה, הביטוי שלילי בין השורשים: $2<x<10$. טעות נפוצה: לחשב $\sqrt{64}=6$ במקום $8$, מה שנותן שורשים שגויים.
14. 0.4 — הציבו את הנקודה $(0,90)$: $90 = a(0-10)^{2}+50 = 100a+50$. מכאן $40=100a$, ולכן $a=0.4$. מכיוון ש-$a>0$ הפרבולה פותחת כלפי מעלה, בהתאמה לכך שהקודקוד הוא נקודת מינימום של עלות. טעות נפוצה: לשכוח להעלות בריבוע את $(0-10)$ ולקבל משוואה לינארית שגויה.
15. 2.4 שניות, גובה 30.8 מטרים — הגובה המרבי מתקבל בקודקוד הפרבולה. הזמן: $t=-\frac{b}{2a}=-\frac{24}{2\cdot(-5)}=2.4$ שניות. הגובה: $h(2.4)=-5\cdot2.4^{2}+24\cdot2.4+2=-28.8+57.6+2=30.8$ מטרים. טעות נפוצה: להשתמש בנוסחה $t=-\frac{b}{a}$ (בלי לחלק ב-2), מה שנותן $t=4.8$ שגוי.