∫ אינטגרלים — תרגול חשבון אינטגרלי לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות

1. $(0, 2)$ ו-$(3, 5)$ — משווים: $2x^{2}-5x+2=x^{2}-2x+2$. מעבירים אגף: $x^{2}-3x=0 \Rightarrow x(x-3)=0 \Rightarrow x=0, x=3$. נציב בפרבולה השנייה: $y=0^{2}-2\cdot0+2=2$, $y=3^{2}-2\cdot3+2=5$. הנקודות: $(0,2)$ ו-$(3,5)$. טעות נפוצה: טעות סימן בהעברת אגפים, שמובילה לפתרון שגוי של המשוואה הריבועית.
2. $(0, -9)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x=0$: $y=3\cdot0^{2}-6\cdot0-9=-9$. הנקודה: $(0,-9)$.
3. 5 מטרים — מצאו קודם את $a$ מתוך הנקודה $(0,0)$: $0 = a(0-6)^{2}+9 = 36a+9 \Rightarrow a=-0.25$. כעת $h(x) = -0.25(x-6)^{2}+9$. הציבו $x=10$: $h(10) = -0.25\cdot(10-6)^{2}+9 = -0.25\cdot16+9 = -4+9=5$. טעות נפוצה: להציב ישירות $a=1$ ולדלג על שלב מציאת $a$ מנקודת הפתיחה, מה שנותן תוצאה שגויה.
4. 36 מטר — $\int 8t dt = 4t^{2}$. הדרך $= 4 \cdot 9 - 0 = 36$ מטר. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
5. 12 ליטר — $\int (3t^{2}+2)dt = t^{3} + 2t$. הכמות $= (8+4) - 0 = 12$ ליטר. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
6. $-2 < x < 5$ — פרבולה הפותחת כלפי מעלה נמצאת מתחת לציר ה-x בין שני השורשים שלה. השורשים הם $x=-2$ ו-$x=5$, ולכן הפונקציה שלילית בתחום $-2<x<5$.
7. $(3, -0.5)$ — שיעור ה-x: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{2\cdot0.5}=3$. נציב: $y=0.5\cdot3^{2}-3\cdot3+4=4.5-9+4=-0.5$. הקודקוד: $(3,-0.5)$.
8. $x = 0.5, x = -3$ — פותרים $2x^{2}+5x-3=0$. בנוסחת השורשים: $x=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2}-4\cdot2\cdot(-3)}}{2\cdot2}=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{4}=\frac{-5\pm7}{4}$, כלומר $x=\frac{2}{4}=0.5$ או $x=\frac{-12}{4}=-3$. לחלופין בפירוק לגורמים: $2x^{2}+5x-3=(2x-1)(x+3)$, ובדיקה: $(2x-1)(x+3)=2x^{2}+6x-x-3=2x^{2}+5x-3$ ✓, ומכאן $2x-1=0 \Rightarrow x=0.5$ או $x+3=0 \Rightarrow x=-3$.
9. $(2, 9)$ — שיעור ה-x: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2\cdot(-2)}=2$. נציב: $y=-2\cdot2^{2}+8\cdot2+1=-8+16+1=9$. הקודקוד: $(2,9)$.
10. 1.25 — נציב $x=2$: $f(2)=\frac{3\cdot2-1}{2+2}=\frac{5}{4}=1.25$.
11. 16 מטרים — צריך לחשב שני גבהים ולהחסיר. הגובה ההתחלתי: $h(0)=3$. הגובה לאחר 2 שניות: $h(2)=-2\cdot2^{2}+12\cdot2+3=-8+24+3=19$. העלייה בגובה: $19-3=16$ מטרים. טעות נפוצה: לדווח על $h(2)=19$ כתשובה, ולשכוח להחסיר את הגובה ההתחלתי.
12. 20 מטר — $\int (2t+1)dt = t^{2} + t$. הדרך $= (16+4) - 0 = 20$ מטר. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
13. 0.4 — הציבו את הנקודה $(0,90)$: $90 = a(0-10)^{2}+50 = 100a+50$. מכאן $40=100a$, ולכן $a=0.4$. מכיוון ש-$a>0$ הפרבולה פותחת כלפי מעלה, בהתאמה לכך שהקודקוד הוא נקודת מינימום של עלות. טעות נפוצה: לשכוח להעלות בריבוע את $(0-10)$ ולקבל משוואה לינארית שגויה.
14. 20 יחידות, רווח 750 ש"ח — $P(x)=R(x)-C(x)=100x-(2x^{2}+20x+50)=-2x^{2}+80x-50$. הרווח המרבי בקודקוד: $x=-\frac{80}{2\cdot(-2)}=20$ יחידות. $P(20)=-2\cdot20^{2}+80\cdot20-50=-800+1600-50=750$ ש"ח. טעות נפוצה: לפזר את הסימן השלילי רק על האיבר הראשון של $C(x)$ ולא על כולו, מה שמוביל לפונקציית רווח שגויה.
15. $(2, -5)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\cdot2}=2$. נציב: $y=2\cdot2^{2}-8\cdot2+3=8-16+3=-5$. הקודקוד: $(2,-5)$.