∫ אינטגרלים — תרגול חשבון אינטגרלי לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות

1. $(0, 2)$ ו-$(3, 5)$ — משווים: $2x^{2}-5x+2=x^{2}-2x+2$. מעבירים אגף: $x^{2}-3x=0 \Rightarrow x(x-3)=0 \Rightarrow x=0, x=3$. נציב בפרבולה השנייה: $y=0^{2}-2\cdot0+2=2$, $y=3^{2}-2\cdot3+2=5$. הנקודות: $(0,2)$ ו-$(3,5)$. טעות נפוצה: טעות סימן בהעברת אגפים, שמובילה לפתרון שגוי של המשוואה הריבועית.
2. $(2, -1)$ ו-$(4, 3)$ — משווים: $x^{2}-4x+3=2x-5 \Rightarrow x^{2}-6x+8=0 \Rightarrow (x-2)(x-4)=0 \Rightarrow x=2, x=4$. נציב בישר: $y=2\cdot2-5=-1$, $y=2\cdot4-5=3$. הנקודות: $(2,-1)$ ו-$(4,3)$.
3. 2 יחידות — $\int 6t^{2} dt = 2t^{3}$. הכמות $= 2 \cdot 1 - 0 = 2$ יחידות. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
4. $(2, -5)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\cdot2}=2$. נציב: $y=2\cdot2^{2}-8\cdot2+3=8-16+3=-5$. הקודקוד: $(2,-5)$.
5. $(3, 4)$ — משווים: $3x-5=-2x+10 \Rightarrow 5x=15 \Rightarrow x=3$. נציב: $y=3\cdot3-5=4$. נקודת החיתוך: $(3,4)$.
6. 2.4 שניות, גובה 30.8 מטרים — הגובה המרבי מתקבל בקודקוד הפרבולה. הזמן: $t=-\frac{b}{2a}=-\frac{24}{2\cdot(-5)}=2.4$ שניות. הגובה: $h(2.4)=-5\cdot2.4^{2}+24\cdot2.4+2=-28.8+57.6+2=30.8$ מטרים. טעות נפוצה: להשתמש בנוסחה $t=-\frac{b}{a}$ (בלי לחלק ב-2), מה שנותן $t=4.8$ שגוי.
7. 1.25 — נציב $x=2$: $f(2)=\frac{3\cdot2-1}{2+2}=\frac{5}{4}=1.25$.
8. 6 — מחשבים קודם את הפונקציה הפנימית: $g(2)=3\cdot2-4=2$. כעת מציבים ב-$f$: $f(g(2))=f(2)=2^{2}+2=6$. טעות נפוצה: לחשב את הפונקציות בסדר הפוך ($g(f(2))$ במקום $f(g(2))$).
9. 8 מטר — $\int 3t^{2} dt = t^{3}$. הדרך $= 2^{3} - 0 = 8$ מטר. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
10. 5 מטרים — מצאו קודם את $a$ מתוך הנקודה $(0,0)$: $0 = a(0-6)^{2}+9 = 36a+9 \Rightarrow a=-0.25$. כעת $h(x) = -0.25(x-6)^{2}+9$. הציבו $x=10$: $h(10) = -0.25\cdot(10-6)^{2}+9 = -0.25\cdot16+9 = -4+9=5$. טעות נפוצה: להציב ישירות $a=1$ ולדלג על שלב מציאת $a$ מנקודת הפתיחה, מה שנותן תוצאה שגויה.
11. $2 < x < 10$ — פותרים את אי-השוויון $2x^{2}-24x+300<260$. מעבירים אגף: $2x^{2}-24x+40<0$, מחלקים ב-2: $x^{2}-12x+20<0$. פותרים את המשוואה $x^{2}-12x+20=0$: $x=\frac{12\pm\sqrt{144-80}}{2}=\frac{12\pm8}{2}$, כלומר $x=2$ או $x=10$. מכיוון שהפרבולה פותחת כלפי מעלה, הביטוי שלילי בין השורשים: $2<x<10$. טעות נפוצה: לחשב $\sqrt{64}=6$ במקום $8$, מה שנותן שורשים שגויים.
12. $(0, -9)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x=0$: $y=3\cdot0^{2}-6\cdot0-9=-9$. הנקודה: $(0,-9)$.
13. $(3, -0.5)$ — שיעור ה-x: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{2\cdot0.5}=3$. נציב: $y=0.5\cdot3^{2}-3\cdot3+4=4.5-9+4=-0.5$. הקודקוד: $(3,-0.5)$.
14. 9 מטר — הדרך $= \int v(t)dt. \int 2t dt = t^{2}$. הדרך מ-0 עד $3: 3^{2} - 0^{2} = 9$ מטר. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
15. $x = 4, x = -3$ — מפרקים לגורמים: $x^{2}-x-12=(x-4)(x+3)$, כי $4\cdot(-3)=-12$ ו-$4+(-3)=1$ (מקדם ה-x בסימן הפוך). מכאן $x=4$ או $x=-3$.