חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x\geq 2$ או $x\leq -2$ — $|x|\geq2$ פירושו $x\geq2$ או $x\leq-2$.
2. $x^{6}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $x^{9}\div x^{3}=x^{9-3}=x^{6}$.
3. $3<x<8$ — שורשים $x=3,8$. הביטוי שלילי בין השורשים: $3<x<8$.
4. $x=1,\ x=\frac{-1}{3}$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-2^2-4\cdot3\cdot(-1)=16$. $x=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2\cdot3}$, כלומר $x=1$ או $x=\frac{-1}{3}$.
5. $x=1,\ x=4$ — מפרקים לגורמים: $(x-(1))(x-(4))=0$, ולכן $x=1$ או $x=4$.
6. $x=\frac{3}{2},\ x=-2$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=1^2-4\cdot2\cdot(-6)=49$. $x=\frac{-1\pm\sqrt{49}}{2\cdot2}$, כלומר $x=\frac{3}{2}$ או $x=-2$.
7. $x=3$ — כופלים ב-$x$, $x\neq0$: $6=2x\Rightarrow x=3$.
8. $2\sqrt{3}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{3}$: $\dfrac{6}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$.
9. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
10. $x=4,\ x=-3$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-1^2-4\cdot1\cdot(-12)=49$. $x=\frac{1\pm\sqrt{49}}{2\cdot1}$, כלומר $x=4$ או $x=-3$.
11. $a^{2}b^{2}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(ab\right)^{2}=a^{2}b^{2}$.
12. $7.1\times 10^{6}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $7100000=7.1\times 10^{6}$.
13. $x=-3,\ x=-5$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=8^2-4\cdot1\cdot(15)=4$. $x=\frac{-8\pm\sqrt{4}}{2\cdot1}$, כלומר $x=-3$ או $x=-5$.
14. $x^{10}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $x^{5}\cdot x^{5}=x^{5+5}=x^{10}$.
15. $p^{4}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $p^{5}\div p^{1}=p^{5-1}=p^{4}$.
16. פתרון יחיד — $\Delta=6^2-4\cdot1\cdot(9)=0$. $\Delta=0$ ולכן פתרון יחיד.
17. $7\sqrt{2}$ — מפרקים את 98 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{98}=\sqrt{49\cdot 2}=7\sqrt{2}$.
18. $x=3,\ y=4$ — מציבים $y=7-x$: $x(7-x)=12\Rightarrow x^2-7x+12=0\Rightarrow(x-3)(x-4)=0$.
19. $3$ — כפל שורשים: $\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3\cdot 3}=\sqrt{9}=3$.
20. $\dfrac{1}{2}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $2^{-1}=\dfrac{1}{2^{1}}=\dfrac{1}{2}$.
21. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 5: $25=5^{2}$. לכן $5^{x}=5^{2}$ ומכאן $x=2$.
22. $x=-6,\ x=2$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-6))(x-(2))=0$, ולכן $x=-6$ או $x=2$.
23. $3\sqrt{2}$ — מפרקים את 18 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$.
24. $x=5,\ x=-1$ — מפרקים לגורמים: $(x-(5))(x-(-1))=0$, ולכן $x=5$ או $x=-1$.
25. $x=5,\ x=-1$ — $2x-4=6$ או $2x-4=-6$, כלומר $x=5$ או $x=-1$.
26. $x=2,\ x=-2$ — מפרקים לגורמים: $(x-(2))(x-(-2))=0$, ולכן $x=2$ או $x=-2$.
27. $700000$ — כתיב מדעי: $7\times 10^{5}=700000$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
28. $3$ — $3x-12=3(x-4)$, מצמצמים: $3$.
29. $6$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $36^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{36}=6$.
30. $x-2$ — $x^2-4=(x-2)(x+2)$, מצמצמים ב-$(x+2)$: $x-2$.