חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x\geq 3$ — $-2x\leq-6$, הופכים: $x\geq3$.
2. $m>1$ — $\Delta=4-4m<0\Rightarrow m>1$.
3. $x=0,\ x=5$ — מוציאים $x$: $x(x-5)=0\Rightarrow x=0$ או $x=5$.
4. $x=4,\ x=-6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(4))(x-(-6))=0$, ולכן $x=4$ או $x=-6$.
5. $2$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $32^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{32}=2$.
6. $x=2$ — $\frac{5}{x}=\frac{5}{2}\Rightarrow x=2$ ($x\neq0$).
7. $3$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $243^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{243}=3$.
8. $\frac{x+y}{xy}$ — מכנה משותף $xy$: $\frac{y}{xy}+\frac{x}{xy}=\frac{x+y}{xy}$.
9. $8500$ — כתיב מדעי: $8.5\times 10^{3}=8500$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
10. $x^{5}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $x^{1}\cdot x^{4}=x^{1+4}=x^{5}$.
11. $x=3$ — כופלים ב-$x$, $x\neq0$: $6=2x\Rightarrow x=3$.
12. $8.9\times 10^{3}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $8900=8.9\times 10^{3}$.
13. $(x-7)(x+7)$ — הפרש ריבועים: $x^2-49=(x-7)(x+7)$.
14. $4.5\times 10^{4}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $45000=4.5\times 10^{4}$.
15. $x=-6,\ x=2$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-6))(x-(2))=0$, ולכן $x=-6$ או $x=2$.
16. פתרון יחיד — $\Delta=2^2-4\cdot1\cdot(1)=0$. $\Delta=0$ ולכן פתרון יחיד.
17. $x=3,\ y=-3$ — חיבור: $2x=6\Rightarrow x=3$, $y=-3$.
18. $x=3,\ y=4$ — מציבים $y=7-x$: $x(7-x)=12\Rightarrow x^2-7x+12=0\Rightarrow(x-3)(x-4)=0$.
19. $b^{2}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $b^{4}\div b^{2}=b^{4-2}=b^{2}$.
20. $m^{5}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $5+2-2=5$, לכן התוצאה $m^{5}$.
21. $5000$ — כתיב מדעי: $5\times 10^{3}=5000$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
22. $\dfrac{1}{10}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $10^{-1}=\dfrac{1}{10^{1}}=\dfrac{1}{10}$.
23. $x=1,\ x=4$ — מפרקים לגורמים: $(x-(1))(x-(4))=0$, ולכן $x=1$ או $x=4$.
24. $\dfrac{1}{2}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $2^{-1}=\dfrac{1}{2^{1}}=\dfrac{1}{2}$.
25. $x=3$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 10: $1000=10^{3}$. לכן $10^{x}=10^{3}$ ומכאן $x=3$.
26. $x\geq 2$ או $x\leq -4$ — $x+1\geq3$ או $x+1\leq-3$ ולכן $x\geq2$ או $x\leq-4$.
27. $x=4,\ x=3$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-7^2-4\cdot1\cdot(12)=1$. $x=\frac{7\pm\sqrt{1}}{2\cdot1}$, כלומר $x=4$ או $x=3$.
28. $3$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $81^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{81}=3$.
29. $m>25$ — $\Delta=100-4m<0\Rightarrow m>25$.
30. $y^{8}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(y^{4}\right)^{2}=y^{4\cdot 2}=y^{8}$.