חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $(x+3)(x^2-3x+9)$ — סכום קוביות: $x^3+27=(x+3)(x^2-3x+9)$.
2. $3$ — $3x-12=3(x-4)$, מצמצמים: $3$.
3. $x=\frac{5}{2},\ x=-1$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-3^2-4\cdot2\cdot(-5)=49$. $x=\frac{3\pm\sqrt{49}}{2\cdot2}$, כלומר $x=\frac{5}{2}$ או $x=-1$.
4. $\sqrt[3]{a^{1}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a^{1}}$.
5. $7\sqrt{2}$ — מפרקים את 98 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{98}=\sqrt{49\cdot 2}=7\sqrt{2}$.
6. $1<x<4$ — שורשים $x=1,4$. הביטוי שלילי בין השורשים: $1<x<4$.
7. $x=3$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 5: $125=5^{3}$. לכן $5^{x}=5^{3}$ ומכאן $x=3$.
8. $x=3,\ y=-3$ — חיבור: $2x=6\Rightarrow x=3$, $y=-3$.
9. $\dfrac{1}{y^{2}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $y^{-2}=\dfrac{1}{y^{2}}$.
10. $x\leq 3$ — $2x-2\geq3x-5\Rightarrow -x\geq-3\Rightarrow x\leq3$.
11. פתרון יחיד — $\Delta=-6^2-4\cdot3\cdot(3)=0$. $\Delta=0$ ולכן פתרון יחיד.
12. $\dfrac{1}{7}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $7^{-1}=\dfrac{1}{7^{1}}=\dfrac{1}{7}$.
13. $(x-4)^2$ — זהו ריבוע: $x^2-8x+16=(x-4)^2$.
14. $x=4,\ y=6$ — חיבור: $3x=12\Rightarrow x=4$, $y=6$.
15. $y^{5}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $y^{6}\div y^{1}=y^{6-1}=y^{5}$.
16. $x=\frac{1}{2},\ x=-3$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=5^2-4\cdot2\cdot(-3)=49$. $x=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2\cdot2}$, כלומר $x=\frac{1}{2}$ או $x=-3$.
17. $\dfrac{1\sqrt{5}}{5}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{5}$: $\dfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{1\sqrt{5}}{5}=\dfrac{1\sqrt{5}}{5}$.
18. $0<x<5$ — שורשים $x=0,5$. הביטוי שלילי בין השורשים: $0<x<5$.
19. $x=6,\ x=2$ — $|x-4|=2$ נותן שני מקרים: $x-4=2$ או $x-4=-2$, ומכאן $x=6$ או $x=2$.
20. $x=0,\ x=5$ — מוציאים $x$: $x(x-5)=0\Rightarrow x=0$ או $x=5$.
21. $10$ — כפל שורשים: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{50}=\sqrt{2\cdot 50}=\sqrt{100}=10$.
22. $x+3$ — $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$, מצמצמים: $x+3$.
23. $3\sqrt{5}$ — מפרקים את 45 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}$.
24. $x=7,\ x=-5$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-2^2-4\cdot1\cdot(-35)=144$. $x=\frac{2\pm\sqrt{144}}{2\cdot1}$, כלומר $x=7$ או $x=-5$.
25. $a^{2}b^{2}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(ab\right)^{2}=a^{2}b^{2}$.
26. $x=4,\ x=-4$ — $x^2=16\Rightarrow x=\pm4$.
27. $x^{6}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $x^{9}\div x^{3}=x^{9-3}=x^{6}$.
28. $x=4,\ y=2$ — הצבה: $2y+2y=8\Rightarrow y=2$, $x=4$.
29. $9$ — כפל שורשים: $\sqrt{3}\cdot\sqrt{27}=\sqrt{3\cdot 27}=\sqrt{81}=9$.
30. $a^{6}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $5+3-2=6$, לכן התוצאה $a^{6}$.