חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $2\sqrt{2}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{2}$: $\dfrac{4}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$.
2. $0<x<4$ — שורשים $x=0,4$. הביטוי שלילי בין השורשים: $0<x<4$.
3. $\sqrt[4]{a^{1}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $a^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{a^{1}}$.
4. $5\sqrt{2}$ — מפרקים את 50 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$.
5. $5$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{75}{3}}=\sqrt{25}=5$.
6. $5\sqrt{3}$ — מפרקים את 75 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}$.
7. $x=1,\ x=6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(1))(x-(6))=0$, ולכן $x=1$ או $x=6$.
8. $4\sqrt{3}$ — מפרקים את 48 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$.
9. $x=4$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $16=2^{4}$. לכן $2^{x}=2^{4}$ ומכאן $x=4$.
10. $10000000$ — כתיב מדעי: $1\times 10^{7}=10000000$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
11. $x<3$ — $-x>-3\Rightarrow x<3$.
12. $4$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{48}{3}}=\sqrt{16}=4$.
13. $(x-4)^2$ — זהו ריבוע: $x^2-8x+16=(x-4)^2$.
14. $\dfrac{1\sqrt{7}}{7}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{7}$: $\dfrac{1}{\sqrt{7}}\cdot\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\dfrac{1\sqrt{7}}{7}=\dfrac{1\sqrt{7}}{7}$.
15. $x=4,\ y=2$ — $x=2y$, ואז $6y+y=14\Rightarrow y=2$, $x=4$.
16. $x^2-25$ — הפרש ריבועים: $(x+5)(x-5)=x^2-25$.
17. $x=3,\ x=-3$ — $|x|=3$ נותן שני מקרים: $x=3$ או $x=-3$, ומכאן $x=3$ או $x=-3$.
18. $2.3\times 10^{3}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $2300=2.3\times 10^{3}$.
19. $1<x<4$ — שורשים $x=1,4$. הביטוי שלילי בין השורשים: $1<x<4$.
20. $\frac{3}{2x}$ — מכנה משותף $2x$: $\frac{2}{2x}+\frac{1}{2x}=\frac{3}{2x}$ ($x\neq0$).
21. $x\leq 3$ — $2x\leq6\Rightarrow x\leq3$.
22. $\sqrt[4]{x^{3}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $x^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{x^{3}}$.
23. $x=4,\ y=2$ — חיסור: $2x=8\Rightarrow x=4$, ואז $2y=4\Rightarrow y=2$.
24. $a^{6}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $5+3-2=6$, לכן התוצאה $a^{6}$.
25. $x+2$ — $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$, מצמצמים: $x+2$.
26. $m^{8}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(m^{2}\right)^{4}=m^{2\cdot 4}=m^{8}$.
27. $8$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $64^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{64}=8$.
28. $x=4,\ x=-7$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=3^2-4\cdot1\cdot(-28)=121$. $x=\frac{-3\pm\sqrt{121}}{2\cdot1}$, כלומר $x=4$ או $x=-7$.
29. אין פתרון — $(x-(2))^2<0$ — אין פתרון.
30. $10$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{200}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{200}{2}}=\sqrt{100}=10$.