חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $3\sqrt{2}$ — מפרקים את 18 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$.
2. $x=6,\ x=-10$ — $|x+2|=8$ נותן שני מקרים: $x+2=8$ או $x+2=-8$, ומכאן $x=6$ או $x=-10$.
3. $x+3$ — $x^2-9=(x-3)(x+3)$, מצמצמים ב-$(x-3)$ ($x\neq3$): $x+3$.
4. $1$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $a^{6}\div a^{6}=a^{6-6}=1$.
5. $5$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{50}{2}}=\sqrt{25}=5$. המסיח $5\sqrt{2}$ שגוי — הוא נובע מבלבול בין חילוק שורשים לבין כפל, ו-$25$ שגוי כי שכחו לחשב את השורש.
6. $1\sqrt{5}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{5}$: $\dfrac{5}{\sqrt{5}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{5\sqrt{5}}{5}=1\sqrt{5}$.
7. $(x-2)(x^2+2x+4)$ — הפרש קוביות: $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$.
8. $m=6 \text{ או } m=-6$ — $\Delta=m^2-36=0\Rightarrow m=\pm6$.
9. $2\sqrt{3}$ — מפרקים את 12 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$.
10. $2(x-3)(x+3)$ — מוציאים 2 ואז הפרש ריבועים: $2x^2-18=2(x^2-9)=2(x-3)(x+3)$.
11. $x^{5}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $x^{2}\cdot x^{3}=x^{2+3}=x^{5}$.
12. $x\geq 2$ או $x\leq -2$ — $|x|\geq2$ פירושו $x\geq2$ או $x\leq-2$.
13. $x=2,\ x=6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(2))(x-(6))=0$, ולכן $x=2$ או $x=6$.
14. $\dfrac{1}{7}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $7^{-1}=\dfrac{1}{7^{1}}=\dfrac{1}{7}$.
15. $10$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{200}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{200}{2}}=\sqrt{100}=10$.
16. $30000$ — כתיב מדעי: $3\times 10^{4}=30000$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
17. $5000$ — כתיב מדעי: $5\times 10^{3}=5000$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
18. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
19. $x^2-25$ — הפרש ריבועים: $(x+5)(x-5)=x^2-25$.
20. $a^{6}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $5+3-2=6$, לכן התוצאה $a^{6}$.
21. $x+2$ — $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$, מצמצמים: $x+2$.
22. $2$ — $2x+6=2(x+3)$, מצמצמים: $2$.
23. $x=4,\ y=2$ — הצבה: $2y+2y=8\Rightarrow y=2$, $x=4$.
24. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 7: $49=7^{2}$. לכן $7^{x}=7^{2}$ ומכאן $x=2$.
25. $(x-6)^2$ — $x^2-12x+36=(x-6)^2$.
26. $m>1$ — $\Delta=4-4m<0\Rightarrow m>1$.
27. $x^{3}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $x^{5}\div x^{2}=x^{5-2}=x^{3}$.
28. $10$ — כפל שורשים: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{50}=\sqrt{2\cdot 50}=\sqrt{100}=10$.
29. $y^{7}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $y^{2}\cdot y^{5}=y^{2+5}=y^{7}$.
30. $1<x<4$ — שורשים $x=1,4$. הביטוי שלילי בין השורשים: $1<x<4$.