חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. אין פתרון — לא ייתכן שסכום אחד יהיה גם 4 וגם 7 — אין פתרון.
2. $4000000$ — כתיב מדעי: $4\times 10^{6}=4000000$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
3. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 5: $25=5^{2}$. לכן $5^{x}=5^{2}$ ומכאן $x=2$.
4. $10$ — כפל שורשים: $\sqrt{5}\cdot\sqrt{20}=\sqrt{5\cdot 20}=\sqrt{100}=10$.
5. $\sqrt[3]{a^{1}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a^{1}}$.
6. אין פתרונות ממשיים — $\Delta=3^2-4\cdot2\cdot(5)=-31$. $\Delta<0$ ולכן אין פתרונות ממשיים.
7. $x=2,\ x=-5$ — מכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים אפס: $x=2$ או $x=-5$.
8. $3$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $243^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{243}=3$.
9. $x=5$ — ערך מוחלט אינו שלילי, ולכן רק $x=5$ מקיים.
10. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 10: $100=10^{2}$. לכן $10^{x}=10^{2}$ ומכאן $x=2$.
11. $-2<x<4$ — $-3<x-1<3$ ולכן $-2<x<4$.
12. $\dfrac{1}{x^{5}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $x^{-5}=\dfrac{1}{x^{5}}$.
13. $3$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{27}{3}}=\sqrt{9}=3$.
14. $x=4,\ y=2$ — הצבה: $2y+2y=8\Rightarrow y=2$, $x=4$.
15. $x=5$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $32=2^{5}$. לכן $2^{x}=2^{5}$ ומכאן $x=5$.
16. $x<-1$ או $x>5$ — שורשים $x=-1,5$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-1$ או $x>5$.
17. $2\sqrt{2}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{2}$: $\dfrac{4}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$.
18. $m^{2}n^{2}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(mn\right)^{2}=m^{2}n^{2}$.
19. $x=4$ — $8=4(x-2)\Rightarrow x-2=2\Rightarrow x=4$ ($x\neq2$).
20. $x=3$ — כפל צולב: $2(x+1)=4(x-1)\Rightarrow2x+2=4x-4\Rightarrow x=3$ ($x\neq\pm1$).
21. $t^{7}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $t^{3}\cdot t^{4}=t^{3+4}=t^{7}$.
22. $x=1,\ x=\frac{-1}{3}$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-2^2-4\cdot3\cdot(-1)=16$. $x=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2\cdot3}$, כלומר $x=1$ או $x=\frac{-1}{3}$.
23. $x>4$ או $x<-4$ — $|x|>4$ פירושו $x>4$ או $x<-4$.
24. $4\sqrt{3}$ — מפרקים את 48 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$.
25. $4$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $64^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{64}=4$.
26. $\sqrt[2]{x^{1}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $x^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{x^{1}}$.
27. פתרון יחיד — $\Delta=6^2-4\cdot1\cdot(9)=0$. $\Delta=0$ ולכן פתרון יחיד.
28. $6$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{72}{2}}=\sqrt{36}=6$.
29. $5\sqrt{3}$ — מפרקים את 75 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}$.
30. $y^{7}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $y^{2}\cdot y^{5}=y^{2+5}=y^{7}$.