חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $(x-3)^2$ — $x^2-6x+9=(x-3)^2$.
2. $8500$ — כתיב מדעי: $8.5\times 10^{3}=8500$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
3. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{2}$: $\dfrac{3}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
4. $x=2,\ y=3$ — חיבור: $6x=12\Rightarrow x=2$, $y=3$.
5. $x^{4}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $x^{8}\div x^{4}=x^{8-4}=x^{4}$.
6. $(x+4)(x-3)$ — $4\cdot(-3)=-12$, $4+(-3)=1$: $(x+4)(x-3)$.
7. $x>4$ — מעבירים: $3x>12$, מחלקים ב-3: $x>4$.
8. $10$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{200}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{200}{2}}=\sqrt{100}=10$.
9. $x=5$ — ערך מוחלט אינו שלילי, ולכן רק $x=5$ מקיים.
10. $x=3,\ x=\frac{1}{2}$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-7^2-4\cdot2\cdot(3)=25$. $x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{2\cdot2}$, כלומר $x=3$ או $x=\frac{1}{2}$.
11. $x=5,\ y=3$ — $x=y+2$: $(y+2)y=15\Rightarrow y^2+2y-15=0\Rightarrow(y+5)(y-3)=0$, $y=3$ נותן $x=5$.
12. $x^{5}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $x^{2}\cdot x^{3}=x^{2+3}=x^{5}$.
13. $2\sqrt{3}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{3}$: $\dfrac{6}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$.
14. $x<-3$ או $x>3$ — שורשים $x=-3,3$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-3$ או $x>3$.
15. $x=2,\ y=4$ או $x=-1,\ y=1$ — $x^2=x+2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow(x-2)(x+1)=0$.
16. $x^{5}2^{5}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(x2\right)^{5}=x^{5}2^{5}$.
17. $x^{4}y^{4}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(xy\right)^{4}=x^{4}y^{4}$.
18. $x=10,\ x=6$ — $|x-8|=2$ נותן שני מקרים: $x-8=2$ או $x-8=-2$, ומכאן $x=10$ או $x=6$.
19. $\dfrac{1\sqrt{7}}{7}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{7}$: $\dfrac{1}{\sqrt{7}}\cdot\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\dfrac{1\sqrt{7}}{7}=\dfrac{1\sqrt{7}}{7}$.
20. $x=0,\ x=5$ — מוציאים $x$: $x(x-5)=0\Rightarrow x=0$ או $x=5$.
21. $x^{6}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(x^{2}\right)^{3}=x^{2\cdot 3}=x^{6}$.
22. $x<-5$ או $x>-1$ — שורשים $x=-5,-1$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-5$ או $x>-1$.
23. $x<3$ — $-3x>-9\Rightarrow x<3$.
24. $m^{7}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $m^{1}\cdot m^{6}=m^{1+6}=m^{7}$.
25. $x+2$ — $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$, מצמצמים: $x+2$.
26. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
27. $3$ — כפל שורשים: $\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3\cdot 3}=\sqrt{9}=3$.
28. $6$ — כפל שורשים: $\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}=\sqrt{6\cdot 6}=\sqrt{36}=6$.
29. $x\geq 6$ — $\frac{x}{2}\geq3\Rightarrow x\geq6$.
30. $m<9$ — $\Delta=36-4m>0\Rightarrow m<9$.