🎯 סימולציית בגרות 4 יח"ל — מבחן #1 (כיתה י')

מפתח תשובות

1. כל k אפשרי שמקיים Δ ≥ 0 — לפי וייטה, מכפלת השורשים = c/a = 8/2 = 4, ללא תלות ב-k. לכן התנאי מתקיים בעבור כל k שעבורו יש שורשים ממשיים: Δ = k² − 64 ≥ 0 ⇒ |k| ≥ 8.
2. 6/20 — ראשון אדום: 3/5. שני אדום בהינתן שראשון אדום: 2/4. כפל: 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10.
3. 5√3 — יחס 1:√3:2. היתר 10 → k = 5 (כי 2k = 10). הצלע מול 60° = √3·k = 5√3.
4. 3 שעות — א' לוקח x, ב' לוקח x+3. 1/x + 1/(x+3) = 1/2. כפל ב-2x(x+3): 2(x+3)+2x = x(x+3) ⇒ x²−x−6=0 ⇒ x=3.
5. מעל 50% — נחשב לפי ההסתברות המשלימה — שלכל 23 התלמידים יש ימי הולדת שונים זה מזה: P(כולם שונים) = (365/365)×(364/365)×(363/365)×...×(343/365) ≈ 0.493. לכן ההסתברות שלפחות לשניים תלמידים יש אותו יום הולדת היא 1 − 0.493 ≈ 0.507, כלומר כ-50.7% — מעל 50%, למרות שאינטואיטיבית 23 תלמידים נשמע מעט מדי (זהו הפרדוקס).
6. מתיחה פי 3 + שיקוף לציר ה-x — המקדם −3 כולל גודל |−3| = 3 (מתיחה אנכית פי 3) וסימן שלילי (שיקוף לציר ה-x).
7. 0 — אין פאה עם 7 בקובייה רגילה, לכן זה מאורע בלתי אפשרי שהסתברותו 0.
8. y = (3/2)x − 1/2 — אמצע M = ((−2+4)/2, (3+(−1))/2) = (1, 1). שיפוע AB = (−1−3)/(4−(−2)) = −2/3. שיפוע ניצב = 3/2. y − 1 = (3/2)(x − 1) ⇒ y = (3/2)x − 1/2.
9. 3 — x − 1/x = 8/3. כפל ב-3x: 3x²−8x−3=0. Δ=64+36=100 ⇒ x=(8±10)/6 ⇒ x=3 או x=−1/3. החיובי: 3.
10. 9 — טווח = מקסימום − מינימום = 11 − 2 = 9.
11. 20 סמ² — שטח מעוין=(6·8)/2=24. שטח ריבוע=4. 24−4=20.
12. ייתכן שיש ערכים קיצוניים בשני המדגמים — כשממוצע וחציון רחוקים זה מזה — זה רומז לערכים קיצוניים שמטים את הממוצע.
13. x² − 2x − 4 — f − g = x² − 3 − (2x + 1) = x² − 3 − 2x − 1 = x² − 2x − 4.
14. 3x + 2 — f(g(x)) = f(3x-2) = (3x-2)+4 = 3x+2.
15. 0.56 — באי-תלות: P=0.8·0.7=0.56.