🎯 סימולציית בגרות 4 יח"ל — מבחן #3 מורחב (כיתה י')

מפתח תשובות

1. צלעות נגדיות במקבילית שוות — תכונה יסודית של מקבילית: צלעות נגדיות שוות באורכן. "נראה מהשרטוט" אינו נימוק תקף.
2. 120 — C(10,3)=10×9×8/(3×2×1)=720/6=120.
3. 7 — סכום השכיחויות: 3 + a + 5 = 15, לכן a = 15 − 8 = 7.
4. 91/216 — דרך המשלים: P(אף 6)=(5/6)³=125/216. לכן P(לפחות 6 אחד)=1-125/216=91/216.
5. 2√5 — 2x − y + 3 = 0. נקודה (0, −7). d = |0 + 7 + 3|/√5 = 10/√5 = 2√5.
6. 14 — לאחר הוספת 14 מתקבלת הסדרה 4, 7, 10, 12, 14, 14, 18, 20. החציון הוא ממוצע שני האיברים האמצעיים: (12+14)/2 = 13.
7. (1, 0) ו-(−5, 0) — פותרים (x + 2)² = 9 → x + 2 = ±3 → x = 1 או x = −5.
8. 5/8 — בסך הכול 5+3=8 כדורים. למאורע 'אדום' יש 5 תוצאות. ההסתברות היא 5/8.
9. y = (3/2)x − 1/2 — אמצע M = ((−2+4)/2, (3+(−1))/2) = (1, 1). שיפוע AB = (−1−3)/(4−(−2)) = −2/3. שיפוע ניצב = 3/2. y − 1 = (3/2)(x − 1) ⇒ y = (3/2)x − 1/2.
10. מעל 50% — נחשב לפי ההסתברות המשלימה — שלכל 23 התלמידים יש ימי הולדת שונים זה מזה: P(כולם שונים) = (365/365)×(364/365)×(363/365)×...×(343/365) ≈ 0.493. לכן ההסתברות שלפחות לשניים תלמידים יש אותו יום הולדת היא 1 − 0.493 ≈ 0.507, כלומר כ-50.7% — מעל 50%, למרות שאינטואיטיבית 23 תלמידים נשמע מעט מדי (זהו הפרדוקס).
11. a√3/3 — R = a/(√3) = a√3/3 (מנוסחת רדיוס מעגל חוסם משולש שווה צלעות).
12. 35 סמ² — שטח דלתון = (d₁·d₂)/2 = (7·10)/2 = 35 סמ². מסיח 70 — שכחת חלוקה ב-2.
13. עולה — הוספת ערך הגבוה מהממוצע מושכת את הממוצע כלפי מעלה, לכן הממוצע עולה.
14. D(5, 0) — מעוין הוא מקבילית. D = A + C − B = (0+8−3, 0+4−4) = (5, 0). בדיקה: |AB|=5, |AD|=5. ✓
15. כן — הישר השני: x + 2y = 6 ⇒ 2y = 6 − x ⇒ y = −x/2 + 3, כלומר שיפוע m2 = −1/2. שיפוע הישר הראשון m1 = 2. מכפלת השיפועים: 2·(−1/2) = −1 ⇒ הישרים ניצבים.