🎯 סימולציית בגרות 4 יח"ל — מבחן #3 מורחב (כיתה י')

מפתח תשובות

1. g(x) = |x| − 5 — הזזה מטה ב-5 יחידות: g(x) = f(x) − 5 = |x| − 5.
2. 91/6 — מחשבים את התוחלת: E(X)=Σk²×P(X=k)=(1/6)×(1²+2²+3²+4²+5²+6²)=(1/6)×(1+4+9+16+25+36)=(1/6)×91=91/6.
3. 16/52 — P(מלך)=4/52, P(לב)=13/52, P(מלך-לב)=1/52. לפי הכלה-הדחה: 4/52+13/52-1/52=16/52.
4. 83 — ממוצע משוקלל = 80×0.7 + 90×0.3 = 56 + 27 = 83.
5. x = 4 — העלאה בריבוע: x + 5 = 9 ⇒ x = 4. בדיקה: √9 = 3 ✓.
6. כל המספרים הממשיים — פולינום מוגדר לכל ערך של x. אין הגבלות על תחום ההגדרה
7. f(x) = x² — הזזה הפוכה ל-g תחזיר אותנו ל-f. (x − 1 + 1)² − 4 + 4 = x².
8. מעוין — |AB|=5, |BC|=5, |CD|=5, |AD|=5. כל הצלעות שוות, מקבילית. שיפועי אלכסונים: AC=4/8=1/2, BD=−2 — מכפלה −1 ⇒ אלכסונים ניצבים — מעוין.
9. רק אם הוא ריבוע — לפי פיתגורס: DM² = DA² + AM² = BC² + (AB/2)². DN² = DC² + CN² = AB² + (BC/2)². הקבילות DM=DN ⇔ BC² + AB²/4 = AB² + BC²/4 ⇔ (3/4)BC² = (3/4)AB² ⇔ AB=BC. לכן השוויון מתקיים אך ורק כאשר המלבן הוא ריבוע.
10. 54 סמ² — שטח ריבוע=144. שטחי שלושת המשולשים: ADM=(12·6)/2=36, MBN=(6·6)/2=18, NCD=(12·6)/2=36. סכום=90. שטח DMN=144−90=54.
11. x = 4 — ריבוע: x+1 = 2x−3 ⇒ x = 4. בדיקה: √5 = √5 ✓.
12. √(22/6) — ממוצע = 42/6 = 7. סכום ריבועי הסטיות = 9+1+1+1+9+1 = 22. שונות = 22/6 ⇒ ס"ת = √(22/6).
13. 3.6 + 6.4 ס"מ — האלכסון BD ניצב ל-AC ונחצה ע"י AC. BO = 4.8. AO = √(6²−4.8²) = √12.96 = 3.6. OC = √(8²−4.8²) = √40.96 = 6.4. AC = 3.6 + 6.4 = 10 ס"מ.
14. x = 3 או x = 11 — תחום: x ≥ 2. מבודדים: √(2x + 3) = 2 + √(x − 2). ריבוע: 2x + 3 = 4 + 4√(x − 2) + (x − 2) ⇒ x + 1 = 4√(x − 2). ריבוע נוסף: x² + 2x + 1 = 16(x − 2) ⇒ x² − 14x + 33 = 0 ⇒ (x − 3)(x − 11) = 0. בדיקה: x = 3 נותן √9 − √1 = 3 − 1 = 2 ✓; x = 11 נותן √25 − √9 = 5 − 3 = 2 ✓. שני הפתרונות תקפים.
15. מעוין — |AB| = 5, |BC| = √(9+16) = 5, |CD| = 5, |DA| = √(9+16) = 5. כל ארבע הצלעות שוות ⇒ מעוין. שיפועי AB = 0 ו-BC = 4/3, מכפלתם ≠ −1 ⇒ אינו ריבוע.